XXIV OM - I - Zadanie 9

Liczby rzeczywiste $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ spełniają warunki:

\[<br />
|x_i|=1 \quad (i = \, 2, \ldots, n),<br />
\]
\[<br />
x_1x_2+ x_2x_3 + \ldots +x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0.<br />
\]

Udowodnić, że liczba $ n $ jest podzielna przez 4.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że liczby $ x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_{n-1}x_n,x_nx_1 $ są równe $ 1 $ lub $ -1 $. Ponieważ ich suma jest równa zeru, więc $ k $ z tych liczb jest równych $ 1 $ i $ k $ jest równych $ -1 $. Zatem $ n = 2k $. Iloczyn tych liczb równy jest $ (-1)^k = x_1x_2 \cdot x_2x_3 \ldots x_{n-1}x_n \cdot x_nx_1 = (x_1x_2 \ldots x_n)^2 = 1 $. Zatem $ k $ jest liczbą parzystą, $ k = 2s $ i stąd $ n = 4s $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź