XXIV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną $ n > 1 $ o następującej własności: istnieje taki zbiór $ Z $ złożony z $ n $ punktów płaszczyzny, że każda prosta $ AB $ ($ A, B\in Z $) jest równoległa do pewnej innej prostej $ CD $ ($ C, D \in Z $).

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw, że zbiór $ Z $ wierzchołków pięciokąta foremnego ma własność podaną w zadaniu, a więc że $ n \leq 5 $. Wykażemy ze każdy bok pięciokąta foremnego jest równoległy do pewnej przekątnej i na odwrót każda przekątna jest równoległa do odpowiedniego boku.

Wystarczy udowodnić, że $ AB \parallel CE $ (rys. 11). Ponieważ na czworokącie $ ABCE $ można opisać koło (mianowicie jest to koło opisane na danym pięciokącie foremnym), więc $ \measuredangle A + \measuredangle BCE = \pi $. Ponieważ $ \measuredangle A = \measuredangle B $, więc wynika stąd, że $ \measuredangle BCE = \pi - \measuredangle B $, co dowodzi, że $ AB \parallel CE $.

Z drugiej strony z warunków zadania wynika, że $ n \geq 4 $, ponieważ są co najmniej dwie różne proste równoległe, każda z których zawiera co najmniej dwa punkty zbioru $ Z $. Gdyby $ n = 4 $ i punkty $ A, B, C, D $ spełniały warunki zadania, to byłyby one wierzchołkami trapezu. Żadna z przekątnych trapezu nie jest jednak równoległa do innej prostej wyznaczonej przez jego wierzchołki. Zatem $ n > 4 $, a więc z udowodnionej wcześniej nierówności $ n \leq 5 $ wynika, ze $ n = 5 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź