XXIV OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby dodatnie $ x, y, z $ spełniają nierówność

\[<br />
\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} + \frac{y^2+z^2-x^2}{2yz} + \frac{z^2+x^2-y^2}{2xz} > 1,<br />
\]

to są one długościami boków pewnego trójkąta.

Rozwiązanie

\spos{1} Jak wiadomo, liczby dodatnie $ x $, $ y $, $ z $ są długościami boków pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy każda z nich jest mniejsza od sumy dwóch pozostałych, tzn. gdy

\[<br />
(1) \qquad x < y + z,\    y < x + z \ \textrm{oraz}\  z < x + y.<br />
\]

Przypuśćmy, że warunek ten nie jest spełniony, tzn. że jedna z liczb $ x, y, z $ jest nie mniejsza od sumy liczb pozostałych. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że

\[<br />
(2) \qquad z \geq x + y.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
(3) \qquad z - x \geq y \ \textrm{oraz} \   z - y \geq x.<br />
\]

Dodając do pierwszego składnika lewej strony nierówności danej w zadaniu liczbę $ 1 $, a do każdego z dwóch pozostałych składników - liczbę $ -1 $ otrzymamy nierówność równoważną

\[<br />
(4) \qquad \frac{(x + y)^2-z^2}{2xy} + \frac{(z-y)^2-x^2}{2yz} + \frac{(z-x)^2 - y^2}{2xz} > 0.<br />
\]

Na mocy (2) i (3) ułamki występujące po lewej stronie nierówności (4) są niedodatnie. Przeczy to nierówności (4).

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że zachodzi warunek (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź