XXIV OM - II - Zadanie 2

W kwadracie danych jest dziewięć punktów, z których, żadne trzy nie są współliniowe. Dowieść, że trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o polu nie przekraczającym $ \frac{1}{8} $ pola kwadratu.

Rozwiązanie

Udowodnijmy najpierw

Lemat. Jeżeli trójkąt $ ABC $ jest zawarty w pewnym prostokącie, to pole trójkąta jest nie większe od połowy pola tego prostokąta.

Dowód. Oznaczmy przez $ A' $, $ B' $, $ C' $ odpowiednio rzuty wierzchołków trójkąta $ ABC $ na jeden z boków prostokąta $ PQRS $ zawierającego ten trójkąt (rys. 14). Niech np. $ B' \in \overline{A'C'} $ i niech $ D $ będzie punktem przecięcia prostej $ AC $ z prostą prostopadłą do $ PQ $ zawierającą punkt $ B' $.

Trójkąt $ ABC $ jest sumą trójkątów $ ABD $ i $ CBD $ (jeden z nich może być zdegenerowany do odcinka, gdy $ A' = B' $ lub $ B' = C' $). Zatem $ S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BCD} = \displaystyle \frac{1}{2} A'B' \cdot BD + \frac{1}{2} B'C' \cdot BD = \frac{1}{2} A'C' \cdot BD $.

Ponieważ $ A'C' \leq PQ $ oraz $ BD \leq QR $, więc wynika stąd, że

\[<br />
S_{ABC} \leq \frac{1}{2} PQ \cdot QR.<br />
\]

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Dzielimy dany kwadrat prostymi równoległymi do boków na cztery przystające kwadraty (lub cztery przystające prostokąty) - rys. 15. Pole takiego kwadratu (prostokąta) jest równe $ \displaystyle \frac{1}{4} $ pola danego kwadratu. Z danych dziewięciu punktów co najmniej trzy należą do jednego z otrzymanych kwadratów (prostokątów). Pole trójkąta o wierzchołkach w tych punktach jest więc na mocy lematu nie większe od $ \displaystyle \frac{1}{8} $ pola danego kwadratu.

Uwaga. W podobny sposób można wykazać, że teza zadania pozostanie prawdziwa, jeżeli liczby $ 9 $ i $ \displaystyle \frac{1}{8} $ zastąpić odpowiednio liczbami $ 2n+1 $ i $ \displaystyle \frac{1}{2n} $. Wystarczy wtedy rozpatrzyć podział kwadratu prostymi równoległymi do boków na $ n $ przystających prostokątów.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź