XXIV OM - II - Zadanie 3

Niech $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ będzie funkcją rosnącą spełniającą warunki:
1. $ f(x+1) = f(x) + 1 $ dla każdego $ x \in \mathbb{R} $,
2. istnieje taka liczba całkowita p, że $ f(f(f(O))) = p $. Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $

\[<br />
\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{n} = \frac{p}{3}.<br />
\]

gdzie $ x_1 = x $ oraz $ x_n =f(x_{n-1}) $ dla $ n = 2, 3, \ldots $.

Rozwiązanie

Podamy najpierw kilka własności funkcji $ f $ spełniającej warunek $ 1^\circ $ zadania. Niech $ f_n(x) $ będzie $ n $-krotnym złożeniem funkcji $ f $, tzn. niech $ f_1(x) = f(x) $ oraz $ f_{n+1}(x) = f_n(f_1(x)) $ dla $ n = 1, 2, \ldots $. Wynika stąd, że jeżeli $ n = k + m $, gdzie $ k $ i $ m $ są liczbami naturalnymi, to

\[<br />
(1) \qquad f_n(x)= f_k ( f_m (x)) \ \textrm{dla}\ x \in R.<br />
\]

Udowodnimy, że dla dowolnej liczby całkowitej $ r $ zachodzi wzór

\[<br />
(2) \qquad f(x+r) = f(x) + r \ \textrm{dla} \ x \in R.<br />
\]

Rozpatrzmy najpierw przypadek, gdy $ r $ jest liczbą naturalną. Zastosujemy metodę indukcji. Dla $ r = 1 $ wzór (2) wynika z warunku $ 1^\circ $ zadania. Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej $ r $ zachodzi wzór (2). Udowodnimy analogiczny wzór dla liczby $ r + 1 $. Z warunku $ 1^\circ $ i z założenia indukcyjnego otrzymujemy

\[<br />
f(x + r+ 1) = f(x + r) + 1 =f(x) + r + 1.<br />
\]

Zatem na mocy zasady indukcji wzór (2) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $ r $.

Jeżeli $ r = 0 $, to wzór (2) jest oczywiście prawdziwy. Jeżeli wreszcie $ r = -s $ jest liczbą całkowitą ujemną, to $ s $ jest liczbą naturalną i wobec tego

\[<br />
f(y + s) =f(y) + s\ \textrm{dla}\ y \in \mathbb{R}.<br />
\]

Podstawiając tu $ y = x - s $ otrzymujemy $ f(x)=f(x - s) + s $, czyli $ f(x - s) =f(x) - s $. Jest to wzór (2) dla $ r = -s $.

Przez indukcję ze względu na $ n $ ze wzoru (2) wynika, że dla dowolnej liczby całkowitej $ r $ i naturalnej $ n $ zachodzi

\[<br />
(3) \qquad f_n(x + r) =f_n(x) + r \ \textrm{dla}\ x \in \mathbb{R}.<br />
\]

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Zauważmy najpierw, że $ x_{n+1} = f_n(x) $ dla $ n = 1,2, \ldots $, a więc należy znaleźć granicę ciągu
$ \displaystyle \frac{f_n (x)}{n+1} $. Udowodnimy najpierw, że

\[<br />
(4) \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{f_n(0)}{n+1} = \frac{p}{3}.<br />
\]

Niech $ r $ będzie resztą z dzielenia liczby naturalnej $ n $ przez $ 3 $, tzn. niech $ n = 3k + r $, gdzie $ r = 0, 1 $ lub $ 2 $ oraz $ k \geq 0 $. Przez indukcję względem $ k $ udowodnimy, że

\[<br />
(5) \qquad f_n(0) = kp + f_r(0).<br />
\]

Jeżeli $ k = 0 $, to $ n = r $ i wzór (5) jest prawdziwy. Jeżeli zaś wzór (5) zachodzi dla pewnej liczby $ k \geq 0 $, to wzór ten dla liczby $ k + 1 $ ma postać

\[<br />
(6) \qquad f_{n+3}(0)= (k+ 1)p+ f_r(0).<br />
\]

Wzór (6) wynika z (1), (3) i (5), ponieważ $ f_{n+3}(0) =f_n (f_3(0)) = f_n(p) = f_n(0 + p) = f_n(0) + p = kp + f_r(0) + p = (k + 1)p + f_r(0) $.

Zatem na mocy zasady indukcji wzór (5) zachodzi dla dowolnej liczby $ k \geq 0 $.

Ponieważ $ k = \displaystyle \frac{n-r}{3} = \frac{n+1}{3} - \frac{1-r}{3} $, więc z (5) wynika, że

\[<br />
(7) \qquad \frac{f_n(0)}{n+1} = \frac{n-r}{3(n+1)} p + \frac{f_r(0)}{n+1} = \frac{p}{3} + \frac{(1-r)p + 3f_r(0)}{3(n+1)}.<br />
\]

Ponieważ wyrażenie $ (1-r)p + 3f_r(0) $ przybiera tylko trzy wartości (przy $ r = 0, 1, 2 $), więc jest ono ograniczone. Zatem

\[<br />
\lim_{n \to \infty} \frac{(1-r)p + 3f_r(0)}{3(n+1)} = 0<br />
\]

i z (7) wynika (4).

Teraz dla dowolnego $ x \in \mathbb{R} $ niech, $ a = [x] $. Wtedy $ a \leq x < a + 1 $. Ponieważ funkcja $ f $, a więc i $ f_n $, jest rosnąca, więc wynika stąd, że

\[<br />
(8) \qquad f_n(a) \leq f_n(x) < f_n(a+ 1).<br />
\]

Liczba $ a $ jest całkowita. Wobec tego z (3) i (8) otrzymujemy

\[<br />
\frac{a+f_n(0)}{n+1} \leq \frac{f_n(x)}{n+1} < \frac{a+1+f_n(0)}{n+1}.<br />
\]

Ponieważ $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a}{n+1} = 0 $, więc z (4) i (9) na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy, że $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{f_n(x)}{n+1} = 3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź