XXIV OM - II - Zadanie 4

Niech $ x_n = (p + \sqrt{q})^n - [(p + \sqrt{q})^n] $ dla $ n = 1, 2, 3, \ldots $. Dowieść, że jeżeli $ p $, $ q $ są liczbami naturalnymi spełniającymi warunek $ p - 1 < \sqrt{q} < p $, to $ \lim_{n\to \infty} x_n = 1 $.
Uwaga. Symbol $ [a] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $ a $.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw

Lemat. Jeżeli $ p $ i $ q $ są liczbami całkowitymi, to liczba

\[<br />
(1) \qquad a_n = (p + \sqrt{q})^n +(p- \sqrt{q})^n<br />
\]

jest całkowita dla $ n = 0, 1, 2, \ldots $.

Dowód. Korzystając ze wzoru dwumianowego otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
a_n &=<br />
\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} p^{n-i} (\sqrt{q})^i +<br />
\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} p^{n-i} (-\sqrt{q})^i =\\<br />
&=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} p^{n-i} ((\sqrt{q})^i + (-\sqrt{q})^i).<br />
\end{split}<br />
\]

Jeżeli liczba $ i $ jest parzysta, $ i = 2m $, to $ (\sqrt{q})^i + (-\sqrt{q})^i = 2q^m $ Jeżeli zaś liczba $ i $ jest nieparzysta, to $ (\sqrt{q})^i + (-\sqrt{q})^i =(\sqrt{q})^i - (\sqrt{q})^i = 0 $. Zatem

\[<br />
a_n = \sum_{0 \leq m \leq \frac{n}{2}} \binom{n}{2m} p^{n-2m} \cdot 2q^m.<br />
\]

Wynika stąd, że liczba $ a_n $ jest całkowita.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź