XXIV OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ ABCD $ mamy $ AB = CD $, $ AC = BD $, $ AD = BC $, to wszystkie ściany czworościanu są trójkątami ostrokątnymi.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw

Lemat. Niech $ \alpha, \beta, \gamma $ będą liczbami z przedziału $ (0; \pi) $. Istnieje kąt trójścienny, którego kąty płaskie mają miary równe $ \alpha, \beta,\gamma $ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z liczb $ \alpha, \beta,\gamma $ jest mniejsza od sumy dwóch pozostałych.

Dowód. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że $ \alpha \geq \beta \geq \gamma $. Wtedy oczywiście $ \beta < \alpha + \gamma $ i $ \gamma < \alpha + \beta $. Mamy więc udowodnić, że istnieje kąt trójścienny, którego kąty płaskie mają miary równe $ \alpha, \beta,\gamma $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \alpha < \beta + \gamma $.

Niech $ t $ będzie półprostą o początku w punkcie $ P $. Półproste o początku w punkcie $ P $ tworzące z $ t $ kąt o danej mierze $ \mu $ są tworzącymi stożka obrotowego o wierzchołku w punkcie $ P $, osi $ t $ i kącie przy wierzchołku o mierze $ 2\mu $. Na odwrót każda tworząca tego stożka tworzy kąt o mierze $ \mu $ z półprostą $ t $ (rys. 16).

Niech półproste $ k $ i $ m $ zawarte w płaszczyźnie $ \pi $ mają początek w punkcie $ O $ i tworzą kąt o mierze $ \alpha $ (rys. 17). Rozważmy stożek obrotowy $ S_1 $ o wierzchołku w punkcie $ O $, osi $ k $ i kącie przy wierzchołku o mierze $ 2\beta $ oraz stożek obrotowy $ S_2 $ o wierzchołku w punkcie $ O $, osi $ m $ i kącie przy wierzchołku o mierze $ 2 \gamma $. Częścią wspólną powierzchni tych stożków jest albo punkt $ O $ (gdy $ \beta +\gamma < \alpha $), albo pewna półprosta zawarta w płaszczyźnie $ \pi $ (gdy $ \beta +\gamma = \alpha $), albo para półprostych $ p_1 $, $ p_2 $, z których żadna nie jest zawarta w płaszczyźnie $ \pi $ (gdy $ \beta +\gamma > \alpha $). W tym ostatnim przypadku półproste $ k $, $ m $, $ p_1 $ wyznaczają kąt trójścienny, którego kąty płaskie przy wierzchołku mają miary równe $ \alpha, \beta, \gamma $. Jeżeli zaś $ \alpha \geq \beta + \gamma $, to taki kąt trójścienny nie istnieje, ponieważ odpowiednie stożki nie mają w tym przypadku wspólnej tworzącej nie zawartej w płaszczyźnie $ \pi $.

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Z równości podanych w treści zadania wynika, że każde dwie ściany czworościanu $ ABCD $ mają po trzy krawędzie odpowiednio równe (rys. 18). Są więc trójkątami przystającymi. Stąd w szczególności

\[<br />
\measuredangle BAC = \measuredangle BDC,\ \measuredangle ABC = \measuredangle ADC,\ \measuredangle ACB = \measuredangle ADB.<br />
\]

Ponieważ suma miar kątów trójkąta $ ABC $ równa jest $ \pi $, więc wynika stąd, że suma miar kątów płaskich przy wierzchołku $ D $ jest równa $ \pi $. Zatem na mocy lematu

\[<br />
\measuredangle BDC < \measuredangle ADC + \measuredangle ADB = \pi - \measuredangle BDC.<br />
\]

Stąd $ \measuredangle BDC < \displaystyle \frac{\pi}{2} $.

Analogicznie dowodzimy, że każdy z pozostałych kątów płaskich jest ostry.

Uwaga. Teza zadania wynika bezpośrednio z zadania 12 z XII Olimpiady Matematycznej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź