LVIII OM - II - Zadanie 6

Liczby dodatnie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają warunek

\[<br />
{1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over d}=4.<br />
\]

Wykazać, że

\[<br />
\root{\scriptstyle 3}\of{{a^3+b^3\over 2}}<br />
+\root{\scriptstyle 3}\of{{b^3+c^3\over 2}}<br />
+\root{\scriptstyle 3}\of{{c^3+d^3\over 2}}<br />
+\root{\scriptstyle 3}\of{{d^3+a^3\over 2}}<br />
\le 2(a+b+c+d)-4.<br />
\]

Rozwiązanie

Wykażemy, że dla dowolnych liczb dodatnich $ x $, $ y $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad \root{\scriptstyle 3}\of{{x^3+y^3\over 2}}<br />
\le{x^2+y^2\over x+y}.<br />
\]

Rzeczywiście, przekształcając równoważnie powyższą nierówność mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
(x^3+y^3)(x+y)^3 & \le 2(x^2+y^2)^3,  \\<br />
(x^3+y^3)(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3) & \le 2x^6+6x^4y^2+6x^2y^4+2y^6,  \\<br />
3x^5y+2x^3y^3+3xy^5 & \le x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6,  \\<br />
0 & \le (x^3-y^3)^2-3xy(x-y)(x^3-y^3),  \\<br />
0 & \le (x^3-y^3)(x-y)^3.<br />
\end{split}<br />
\]

Ostatnia nierówność jest spełniona, gdyż liczby $ x-y $ oraz $ x^3-y^3 $ mają jednakowy znak.

Korzystając z zależności (1) widzimy, że zadanie będzie rozwiązane, jeżeli udowodnimy nierówność

\[<br />
{a^2+b^2\over a+b}+{b^2+c^2\over b+c}+<br />
{c^2+d^2\over c+d}+{d^2+a^2\over d+a}\le<br />
2(a+b+c+d)-4.<br />
\]

Lewa strona powyższej nierówności jest równa

\[<br />
2(a+b+c+d)-{2ab\over a+b}-{2bc\over b+c}-{2cd\over c+d}<br />
-{2da\over d+a}.<br />
\]

Aby dokończyć rozwiązanie, wystarczy zatem dowieść, że

\[<br />
(2) \qquad {2ab\over a+b}+{2bc\over b+c}+{2cd\over c+d}<br />
+{2da\over d+a}\ge 4.<br />
\]

Jednakże na mocy łatwej do sprawdzenia nierówności $ \displaystyle{x+y\ge{4\over{1\over x}+{1\over y}}} $ mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
{2ab\over a+b}+{2cd\over c+d} & \ge<br />
{8\over\di{a+b\over ab}+{c+d\over cd}}=<br />
{8\over\di{1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over d}}=2,  \\<br />
{2bc\over b+c}+{2da\over d+a} & \ge<br />
{8\over\di{b+c\over bc}+{d+a\over da}}=<br />
{8\over\di{1\over b}+{1\over c}+{1\over d}+{1\over a}}=2.<br />
\end{split}<br />
\]

To uzasadnia nierówność (2), do której wcześniej został sprowadzony dowód tezy zadania.

Uwaga: Po zakończeniu zawodów wielu uczestników skarżyło się, że
rozwiązanie zadania wymaga wymyślenia nierówności (1),
a jej zgadnięcie jest niemal niewykonalne.

Okazuje się jednak, że nierówność ta ujawnia
się w naturalny sposób. Aby się o tym przekonać,
wystarczy spróbować rozwiązać zadanie przy
dodatkowym założeniu, że $ a=c $ oraz $ b=d $.
Wówczas dany w treści zadania warunek
można przepisać jako

\[<br />
{1\over a}+{1\over b}=2,<br />
\]

natomiast nierówność do udowodnienia przyjmuje postać

\[<br />
\root{\scriptstyle 3}\of{{a^3+b^3\over 2}}<br />
\le a+b-1=a+b-{2\over{1\over a}+{1\over b}}=<br />
a+b-{2ab\over a+b}={a^2+b^2\over a+b}.<br />
\]

Stąd pomysł, by spróbować ten szczególny
przypadek udowodnić oddzielnie (skoro
występują w nim tylko dwie niewiadome),
a następnie wykorzystać go do rozwiązania
w przypadku ogólnym.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź