XXIV OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że każdy wielomian jest różnicą dwóch wielomianów rosnących.

Rozwiązanie

Niech $ F(x) $ będzie funkcją pierwotną dla funkcji $ \displaystyle \frac{1}{2} (f'(x)^2 + f'(x) + 1) $ spełniającą warunek $ F(0) = f(0) $ i niech
$ G(x) $ będzie funkcją pierwotną dla funkcji $ \displaystyle \frac{1}{2} (f'(x)^2 - f'(x) + 1) $ spełniającą warunek $ G(0) = 0 $.

Oczywiście $ F $ i $ G $ są wielomianami. Są to wielomiany rosnące, ponieważ $ F'(x)= \displaystyle \frac{1}{2} (f'(x)^2 + f'(x) + 1) > 0 $ i $ G' (x) = \displaystyle \frac{1}{2} (f'(x)^2 - f'(x) + 1) > 0 $. Wielomiany $ t^2 + t + 1 $ i $ t^2 - t + 1 $ przybierają bowiem tylko wartości dodatnie.

Ponadto $   (F - G)' = F' - G' = f' $. Zatem $ F(x) - G(x) = f(x) + C $, gdzie $ C $ jest pewną stałą. Porównując wartości obu stron tej równości w punkcie $ x = 0 $ otrzymujemy, że $ C = 0 $. Zatem $ F - G = f $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź