XXIV OM - III - Zadanie 2

Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem, że w ciągu $ n $ rzutów monetą pojawi się seria kolejnych 100 orłów. Dowieść, że ciąg liczb $ p_n $ jest zbieżny i obliczyć jego granicę.

Rozwiązanie

Liczba zdarzeń elementarnych jest równa liczbie ciągów $ n $-elementowych o dwóch wartościach: orzeł i reszka, tzn. liczbie $ 2^n $. Zdarzeniem sprzyjającym jest ciąg zawierający $ 100 $ kolejnych orłów. Oszacujemy z góry liczbę zdarzeń niesprzyjających, tzn. liczbę ciągów nie zawierających stu kolejnych orłów.

Niech $ n= 100 k + r $, gdzie $ k \geq 0 $ i $ 0 \leq r < 100 $. Każdy ciąg $ n $-elementowy składa się więc z $ k $ ciągów $ 100 $-elementowych i ciągu $ r $-elementowego. Wszystkich ciągów $ 100 $-elementowych o dwóch wartościach jest $ 2^{100} $; zatem po wyłączeniu ciągu złożonego ze stu orłów pozostanie $ 2^{100} - 1 $ ciągów $ 100 $-elementowych. Każdy ciąg $ n $-elementowy nie zawierający stu kolejnych orłów składa się więc z $ k $ takich ciągów $ 100 $-elementowych i z pewnego ciągu $ r $-elementowego. Stąd liczba zdarzeń niesprzyjających jest nie większa od $ (2^{100} - 1)^k \cdot 2^r $. Wobec tego

\[<br />
(1) \qquad 1 \geq p_n \geq 1 - \frac{(2^{100} - 1)^k \cdot 2^r}{2^{100k+r}} =<br />
1 - \left( 1 - \frac{1}{2^{100}}  \right)^k.<br />
\]

Jeżeli $ n $ dąży do nieskończoności, to oczywiście również $ k $ dąży do nieskończoności. Ponieważ dla $ 0 < q < 1 $ mamy $ \displaystyle \lim_{k \to \infty} q^k = 0 $, więc $ \displaystyle \lim_{k \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2^{100}}  \right)^k = 0 $. Zatem z (1) na mocy twierdzenia o trzech ciągach wynika, że $ \displaystyle \lim_{k \to \infty} q^k = 0 $, więc $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź