XXIV OM - III - Zadanie 3

Wielościan $ W $ ma następujące własności:
a) posiada środek symetrii,
b) część wspólna wielościanu W z dowolną płaszczyzną zawierającą środek symetrii i którąkolwiek krawędź wielościanu jest równoległobokiem,
c) istnieje wierzchołek wielościanu $ W $, który należy do dokładnie trzech krawędzi.
Dowieść, że wielościan $ W $ jest równoległościanem.

Rozwiązanie

Wielościanem nazywamy taki ograniczony zbiór punktów przestrzeni, który nie jest zawarty w jednej płaszczyźnie i jest częścią wspólną skończonej liczby półprzestrzeni. Ponieważ półprzestrzeń jest zbiorem wypukłym, a część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, więc każdy wielościan jest zbiorem wypukłym. (Przyjmowane też są inne definicje wielościanu. Z pewnych spośród nich nie wynika, że wielościan jest zbiorem wypukłym).

Z wypukłości wielościanu wynika w szczególności, że jeżeli dwa jego wierzchołki $ P $, $ Q $ oba należą do pewnych dwóch ścian wielościanu, to $ \overline{PQ} $ jest jego krawędzią. Odcinek $ \overline{PQ} $ jest bowiem zawarty w każdej z tych ścian, a więc i w ich części wspólnej.

Niech wierzchołek $ A_0 $ wielościanu $ W $ należy do dokładnie trzech jego krawędzi $ \overline{A_0A_1} $, $ \overline{A_0A_2} $ i $ \overline{A_0A_3} $. Ponieważ wielościan $ W $ ma środek symetrii, więc wierzchołek $ A_0' $ symetryczny do $ A_0 $ też należy do dokładnie trzech krawędzi $ \overline{A'_0A'_1} $, $ \overline{A'_0A'_2} $ i $ \overline{A'_0A'_3} $, gdzie punkt $ A'_i $ jest symetryczny do $ A-i $ dla $ i = 1, 2, 3 $. Niech $ \pi_i $ będzie płaszczyzną zawierającą środek symetrii wielościanu $ W $ i krawędź $ A_0A_i $, gdzie $ i = 1, 2, 3 $. Zawiera więc ona również krawędź $ \overline{A'_0A'_i} $ i z warunków zadania wynika, że $ W \cap \pi_i $ jest czworokątem. Jest to oczywiście czworokąt $ A_0A_iA'_0A'_i $.

Dla $ j \ne k, j $, $ k \in \{1, 2, 3\} $ niech $ S_{jk} $ będzie ścianą wielościanu $ W $ zawierającą wierzchołki $ A_0 $, $ A_j $, $ A_k $ i $ S'_{jk} $ - ścianą do niej symetryczną. Jeżeli liczby $ j $ i $ k $ są różne od $ i $ oraz należą do zbioru $ \{1,2, 3\} $, to płaszczyzna $ \pi_i $ przecina ścianę $ S_{jk} $. Ponieważ $ \pi_i \cap W $ jest czworokątem $ A_0A_iA'_0A'_i $ oraz $ A_0 \in S_{jk} $, $ A'_0 \not \in S_{jk} $, i $ A_i \not \in S_{jk} $, więc $ A'_i \in S_{jk} $. Analogicznie stwierdzamy, że $ A_i \in S'_{jk} $.

Jeżeli liczby $ i $, $ j $, $ k $ są różne i należą do zbioru $ \{1, 2, 3\} $, to, jak wykazaliśmy, $ A_i, A'_j \in S'_{jk} $ oraz $ A_i, A'_j \in S_{ik} $. Zatem na podstawie początkowej uwagi otrzymujemy, że $ \overline{A_iA'_j} $ jest krawędzią wielościanu $ W $ dla $ i \ne j $. Wobec tego każdy czworokąt $ A_0A_iA'_jA_k $ oraz $ A'_0A'_iA_jA'_k $ jest ścianą wielościanu $ W $. Zatem $ W $ ma sześć ścian i są one czworokątami. Ściany te są parami równoległe, ponieważ wielościan $ W $ ma środek symetrii. Wielościan $ W $ jest więc równoległościanem.

Uwaga 1. W powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, ze część wspólna wielościanu $ W $ i dowolnej płaszczyzny zawierającej środek symetrii i krawędź wielościanu jest równoległobokiem. Wystarczyłoby zakładać, że ta część wspólna jest czworokątem.

Uwaga 2. Istnieją bryły niewypukłe, które są sumami wielościanów, posiadają środek symetrii i których każdy przekrój płaszczyzną przechodzącą przez środek symetrii i krawędź jest równoległobokiem. Na przykład niech w sześcianie o podstawach $ ABCD $ i $ A'B'C'D' $ środkami ścian $ ABB'A' $, $ BCC'B' $, $ CDD'C' $, $ DAA'D' $ będą odpowiednio punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $. Odejmując od tego sześcianu czworościany $ AA'PS $, $ BB'PQ $, $ CC'QR $ i $ DD'RS $ otrzymamy bryłę, która jest sumą wielościanów. Można sprawdzić, że bryła ta spełnia warunki a) i b) zadania. Nie jest ona jednak równoległościanem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź