XXIV OM - III - Zadanie 4

Na prostej dany jest układ odcinków o łącznej długości $ < 1 $. Dowieść, że dowolny układ $ n $ punktów prostej można przesunąć na niej o wektor długości $ \leq \frac{n}{2} $ tak, aby po przesunięciu żaden z punktów nie leżał na żadnym z danych odcinków.

Rozwiązanie

Niech $ P_i $, gdzie $ i = 1, 2, \ldots, n $, będą danymi punktami i niech $ A $ będzie sumą danych odcinków o łącznej długości mniejszej od $ 1 $. Dla $ i = 1, 2, \ldots, n $ niech $ I_i $ będzie odcinkiem długości $ n $, którego środkiem jest punkt $ P_i $.

Oczywiście $ A \cap I_i $, jest sumą odcinków o łącznej długości mniejszej od $ 1 $. Niech $ \varphi_i $ będzie przesunięciem o wektor $ \overrightarrow{P_iP_1} $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n $. Ponieważ przesunięcie zachowuje długość odcinka oraz $ \varphi_i(I_i) = I_1 $, więc zbiór

\[<br />
I = \cup_{i=1}^n \varphi_i (A \cap I_i)<br />
\]

jest sumą odcinków o łącznej długości mniejszej od $ n $ zawartych w $ I_i $. Jak wiemy, $ I_1 $ ma długość $ n $. Istnieje zatem punkt $ Q $ należący do $ I_1 - I $.

Wykażemy, że przesunięcie $ \varphi $ o wektor $ \overrightarrow{P_1Q} $ spełnia warunki zadania. Ponieważ $ Q \in I_1, P_1 $ jest środkiem odcinka $ I_1 $ oraz długość $ l_1 $ równa jest $ n $, więc $ P_1Q \leq \displaystyle \frac{n}{2} $. Wobec tego dla każdego $ i =1,2, \ldots, n $ mamy $ \varphi (P_i) \in I_i $.

Gdyby dla pewnego $ i $ było $ \varphi_ (P_i) \in A $, to wobec $ \varphi (P_i) \in I_i $ mielibyśmy $ \varphi (P_i) \in A \cap I_i $. Stąd

\[<br />
(1) \qquad \varphi_i \varphi (P_i) \in \varphi_i (A \cap I_i) \subset I.<br />
\]

Przekształcenie $ \varphi_i \varphi $ jest przesunięciem o wektor $ \overrightarrow P_1Q + \overrightarrow{P_iP_1} = \overrightarrow{P_iQ} $. Zatem $ \varphi_i \varphi(P_i) = Q $. Z (1) wynika więc, że $ Q \in I $. Przeczy to określeniu punktu $ Q $.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że dla każdego $ i = 1, 2, \ldots, n $ mamy $ \varphi(P_i) \not \in A $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź