LVIII OM - III - Zadanie 1

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego, odcinek $ CD $ jest wysokością, punkt $ E $ leży na boku $ AB $, a punkt $ M $ jest środkiem odcinka $ CE $. Prosta prostopadła do prostej $ OM $ i przechodząca przez punkt $ M $ przecina proste $ AC $, $ BC $ odpowiednio w punktach $ K $, $ L $. Dowieść, że

\[<br />
{LM\over MK}={AD\over DB}.<br />
\]

Rozwiązanie

Poprowadźmy przez punkt $ M $ prostą równoległą do boku $ AB $, która przecina odcinki $ AC $ i $ BC $ odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $ (rys. 12). Wówczas punkty $ P $ i $ Q $ są odpowiednio środkami boków $ AC $ i $ BC $. Ponieważ punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, więc $ \measuredangle APO=90^\circ $. Ponadto $ \measuredangle KMO=90^\circ $. Stąd wynika, że punkty $ K $, $ P $, $ M $, $ O $ leżą na jednym okręgu, którego średnicą jest odcinek $ KO $. Wobec tego $ \measuredangle OKM=\measuredangle OPM $.

Analogicznie dowodzimy, że $ \measuredangle OLM=\measuredangle OQM $. Z równości tych wynika, że trójkąty $ OKL $ i $ OPQ $ są podobne. Oznaczając zatem przez $ S $ rzut prostokątny punktu $ O $ na prostą $ PQ $ uzyskujemy

\[<br />
(1) \qquad {LM\over MK}={QS\over SP}\,.<br />
\]

om58_3r_img_12.jpg
om58_3r_img_13.jpg

Oznaczmy przez $ X $ środek odcinka $ OC $ oraz niech $ Y $, $ R $
będą odpowiednio rzutami prostokątnymi punktów
$ X $ i $ C $ na prostą $ PQ $
(rys. 13). Ponieważ
$ \measuredangle OPC=\measuredangle OQC=90^\circ $, więc
punkty $ C $, $ P $, $ O $, $ Q $ leżą na jednym okręgu,
którego środkiem jest punkt $ X $. Zatem $ PX=XQ $,
a więc $ PY=YQ $. Ponadto punkt $ X $ jest środkiem odcinka
$ OC $, więc $ RY=YS $. Stąd uzyskujemy $ PR=QS $.
Wobec tego

\[<br />
(2) \qquad {QS\over SP}={PR\over RQ}={AD\over DB}\,.<br />
\]

Łącząc równości (1) i (2) uzyskujemy tezę.

Uwaga: Po otrzymaniu zależności (1) można w nieco inny sposób
dokończyć rozwiązanie zadania.
Niech mianowicie $ T $ będzie środkiem odcinka $ AB $ oraz niech
$ G $ oznacza środek ciężkości trójkąta
$ ABC $ (rys. 14).

om58_3r_img_14.jpg

Wówczas punkt $ G $ dzieli każdą ze środkowych $ AQ $, $ BP $, $ CT $
trójkąta $ ABC $ w stosunku $ 2:1 $. Zatem jednokładność $ j $
o środku w punkcie $ G $ i skali $ -1/2 $ przeprowadza punkty
$ A $, $ B $, $ C $ odpowiednio na punkty $ Q $, $ P $, $ T $.

Z drugiej strony, prosta przechodząca przez punkt $ O $
i prostopadła do prostych $ AB $ i $ QP $ zawiera
zarówno punkt $ S $ (gdyż $ S $ jest rzutem prostokątnym
punktu $ O $ na prostą $ QP $), jak i punkt $ T $ (rzut
środka okręgu opisanego na trójkącie na bok
tego trójkąta jest bowiem środkiem rozważanego
boku). Innymi słowy, odcinek $ TS $ jest wysokością
w trójkącie $ QPT $.

W efekcie jednokładność $ j $ przeprowadza spodek $ D $
wysokości $ CD $ w trójkącie $ ABC $ na spodek $ S $
wysokości $ TS $ w trójkącie $ QPT $. To oznacza, że
$ j $ przeprowadza odcinki $ AD $ i $ DB $ odpowiednio
na odcinki $ QS $ i $ SP $. Wynika stąd równość stosunków

\[<br />
{AD\over DB}={QS\over SP},<br />
\]

która wraz z równością (1) pociąga tezę zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź