XXIII OM - I - Zadanie 1

Narysować wykres funkcji

\[<br />
y=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}<br />
\]

Rozwiązanie

Jeżeli $ x \geq 1 $, to $ x \pm 2 \sqrt{x-1}= (x - 1) \pm 2 \sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} \pm 1)^2 $ i wobec tego $ y = \sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} +<br />
+ \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = |\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1| $.

Widzimy stąd, że funkcja $ y $ jest określona dla $ x \geq 1 $.

Mamy $ \sqrt{x-1} + 1 \geq 0 $ dla każdego $ x \geq 1 $ oraz $ \sqrt{x -1} - 1 \geq 0 $ dla $ x \geq 2 $ i $ \sqrt{x- 1} \leq 0 $ dla $ 1 \leq x \leq 2 $.

Zatem

\[<br />
y = \left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
(\sqrt{x-1} + 1) + (\sqrt{x-1} - 1) = 2\sqrt{x-1} & \textrm{dla}\ x \geq 2,\\<br />
(\sqrt{x-1} + 1) - (\sqrt{x-1} - 1) = 2 & \textrm{dla}\ 1 \leq x \leq 2.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Wykres funkcji $ y $ składa się więc z odcinka o końcach w punktach $ (1,2) $ i $ (2, 2) $ oraz łuku paraboli o równaniu $ y = 2\sqrt{x-1} $ dla $ x \geq 2 $ (rys. 3).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź