XXIII OM - I - Zadanie 2

Dla danej liczby pierwszej $ p $ wyznaczyć wszystkie takie ułamki nieskracalne $ \frac{a}{b}>0 $, że

\[<br />
\frac{a+p}{b+p} - \frac{a}{b} = \frac{1}{p^2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Daną równość przekształcamy do postaci

\[<br />
p^3 (a - b) + pb + b^2 = 0.<br />
\]

Ponieważ pierwsze dwa składniki po lewej stronie są podzielne przez $ p $, więc wynika stąd, że $ b^2 $ jest podzielne przez $ p $, a zatem i $ b $ jest podzielne przez $ p $. Podstawiając $ b = pc $ do powyższej równości i dzieląc obustronnie przez $ p^2 $ otrzymujemy

\[<br />
p (a - pc) + c + c^2 = 0<br />
\]

i stąd

\[<br />
(1) \qquad   pa = c (p^2 - c - 1).<br />
\]

Wobec tego $ c $ jest dzielnikiem liczby $ pa $, a ponieważ $ c $ jest względnie pierwsze z $ a $ (zakładaliśmy bowiem, że ułamek $ \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a}{pc} $ jest nieskracalny), więc $ c $ jest dzielnikiem $ p $. Wynika stąd, że $ c = \pm 1 $ lub $ c = \pm p $.

1) Jeżeli $ c = 1 $, to z (1) otrzymujemy $ pa = p^2 - 2 $. Zatem $ p $ jest dzielnikiem pierwszym liczby $ 2 $, czyli $ p = 2 $. Wtedy $ a = 1 $ i $ b = 2 $.

2) Jeżeli $ c = -1 $, to z (1) otrzymujemy $ pa = -p^2 $, czyli $ a = -p $ i $ b = pc = -p $. Liczby te nie spełniają warunków zadania, ponieważ ułamek $ \displaystyle \frac{a}{b} $ nie jest w tym przypadku nieskracalny.

3) Jeżeli $ c = p $, to z (1) otrzymujemy $ pa = p(p^2 - p - 1) $, czyli $ a = p^2 - p - 1 $ i $ b = p^2 $.

4) Jeżeli $ c = -p $, to z (1) otrzymujemy $ pa = -p(p^2 + p - 1) $, czyli $  a = -p^2 - p + 1 $ i $ b = - p^2 $.

Sprawdzamy bez trudu, że liczby $ a $ i $ b $ wyznaczone w przypadkach 1), 3), 4) spełniają warunki zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź