XXIII OM - I - Zadanie 3

Udowodnić, że jeżeli $ A, B, C $ są kątami trójkąta, zaś $ t $ - liczbą rzeczywistą, to

\[<br />
\cos A + t (\cos B + \cos C) \leq 1 + \frac{t^2}{2} .<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ $ A + B + C = \pi $, więc $ \cos A = \cos [\pi - (B + C)] = - \cos  (B + C) $. Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
 t^2 & - 2t(\cos B + \cos  C) + 2   (1- \cos A) = \\<br />
& = [t - (\cos B + \cos C)]^2 - (\cos B + \cos C)^2 + 2 [1 + \cos (B + C)] \geq \\<br />
& \geq - \cos^2 B - 2 \cos B \cdot \cos C - \cos^2 C + 2 + 2 \cos B \cdot \cos C - 2 \sin B \cdot \sin C = \\<br />
& = (1 - \cos^2 B) + (1 - \cos^2 C) - 2 \sin B \cdot \sin C = (\sin B - \sin C)^2 \leq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Wynika stąd nierówność podana w zadaniu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź