XXIII OM - I - Zadanie 4

Punkty $ A $ i $ B $ nie należą do płaszczyzny $ \pi $. Znaleźć zbiór wszystkich punktów $ M\in \pi $ o tej własności, że proste $ AM $ i $ BM $ tworzą z płaszczyzną $ \pi $ równe kąty.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ A' $ i $ B' $ odpowiednio rzuty punktów $ A $ i $ B $ na
płaszczyznę $ \pi $ (rys 4). Jeżeli $ A' = B' $ i $ AA' = BB' $, to
szuanym zbiorem punktów jest cała płaszczyzna. Jeżeli $ A' = B' $, ale $ AA' \ne BB' $, to tylko punkt $ A' $ spełnia warunki zadania. Jeżeli bowiem $ M \ne A $ i $ M \in \pi $, to kąty $ \measuredangle AMA' $ i $ \measuredangle BMB' $ są ostre. Wtedy $ \tg \measuredangle BMB' = \displaystyle \frac{BB'}{MB'} = \frac{BB'}{MA'} \ne \frac{AA'}{MA'} = \tg \measuredangle AMA' $ i wobec tego
rozpatrywane kąty są różne.

Wreszcie, jeżeli $ A' \ne B' $, to warunek sformułowany w zadaniu przybiera postać $ \measuredangle (AM, \pi) = \measuredangle (BM, \pi) $, czyli $ \measuredangle AMA' = \measuredangle BMB' $. Ponieważ oba te kąty są ostre, więc warunek ten jest równoważny następującemu: $ \tg \measuredangle AMA' = \tg \measuredangle BMB' $, czyli $ \displaystyle \frac{AA'}{A'M} = \frac{BB'}{B'M} $. Zatem poszukiwany punkt $ M $ winien spełniać warunek $ \displaystyle \frac{A'M}{B'M} = \frac{AA'}{BB'} $.

Inaczej mówiąc, stosunek odległości punktu $ M $ od punktów $ A' $ i $ B' $ winien być stały. Jak wiadomo, jeżeli ten stosunek równy jest $ 1 $, to miescem geometrycznym punktów $ M $ jest symetralna odcinka $ A'B' $, a jeżeli jest on różny od $ 1 $, to tym miejscem geometrycznym jest okrąg o średnicy wyznaczonej przez punkty dzielące wewnętrznie i zewnętrznie odcinek $ \overline{A'B'} $ w tym stosunku. Jest to tzw. okrąg Apoloniusza.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź