XXIII OM - I - Zadanie 5

Ciąg wielomianów $ P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots $ jest określony wzorami $ P_0(x) = 2 $, $ P_1(x) = x $,

\[<br />
(1)\qquad P_{n+1}(x) = x\cdot P_n(x) - P_{n-1}(x) \quad (n=1, 2, \ldots).<br />
\]

Wykazać istnienie takich liczb rzeczywistych $ a, b, c $, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br />
(2)\qquad (x^2 - 4) (P_n^2(x) - 4) = (a \cdot P_{n+1}(x) + b \cdot P_n(x) + c \cdot P_{n-1}(x))^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dla pewnych liczb $ a $, $ b $, $ c $ zachodzi wzór (2). Podstawiając w nim $ n = 1 $ otrzymujemy $ (x^2 - 4)^2 = [ax^2 + bx + 2 (c - a)]^2 $. Porównując współczynniki przy $ x^4 $, $ x^3 $, $ x^2 $ w wielomianach stojących po obu stronach ostatniej równości uzyskujemy $ a^2 = 1 $, $ 2ab = 0 $, $ b^2 + 4a (c - a) = - 8 $. Wyznaczając kolejno stąd $ a $, $ b $, $ c $ otrzymujemy $ a = \pm 1 $, $ b = 0 $, $ c = \mp 1 $. Udowodnimy, że liczby te spełniają warunki zadania, tzn. że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi

\[<br />
(3) \qquad  (x^2 - 4) [P_n^2 (x) - 4] = [P_{n+1}(x) - P_{n-1} (x)]^2.<br />
\]

\spos{1} Na mocy (1) wzór (3) można zapisać w postaci

\[<br />
(x^2 - 4) [P_n^2(x) - 4] = [x \cdot P_n(x) - 2P^2_{n-1}(x)]^2.<br />
\]

Wymnażając nawiasy i dokonując redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy stąd następującą równość równoważną (3):

\[<br />
(4) \qquad  P_n^2 (x) - x \cdot P_n (x) \cdot P_{n-1} (x) + P^2_{n-1}(x) = 4 - x^2.<br />
\]

Udowodnimy równość (4) za pomocą indukcji. Dla $ n = 1 $ lewa strona (4) na mocy założenia jest równa $ x^2 - x \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 4 - x^2 $. Równość (4) jest więc w tym przypadku prawdziwa.

Załóżmy z kolei, że równość (4) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $ n $. Udowodnimy, że analogiczna równość zachodzi dla liczby $ n+1 $, tzn., że

\[<br />
(5) \qquad<br />
P^2_{n+1} (x) - x \cdot P_{n+1}(x) \cdot P_n(x) + P_n^2(x) =4-x^2<br />
\]

Przekształcamy lewą stronę (5) korzystając z (1) i (4):

\[<br />
\begin{split}<br />
 [x \cdot P_n(x)& - P_{n-1} (x)]^2 - x[xP_n (x) - P_{n-1}(x)] \cdot P_n(x) + P_n^2(x) =\\<br />
&= x^2 \cdot P_n^2(x)  - 2x \cdot P_n(x) \cdot P_{n-1} (x) + P_{n-1}^2 (x) +\\<br />
&\quad- x^2 \cdot P_n^2(x) + x \cdot P_{n-1}(x) \cdot P_n(x) + P_n^2(x) = \\<br />
& = P_n^2 (x) - x \cdot P_n (x) \cdot P_{n - 1}(x) + P^2_{n-1} (x) = 4 - x^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Otrzymaliśmy więc równość (5). Zatem na mocy zasady indukcji równość (4) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź