XXIII OM - I - Zadanie 6

Zbadać, dla jakich cyfr $ a $ zapis w układzie dziesiętnym pewnej liczby $ \frac{n(n+1)}{2} $ ($ n\in \mathbb{N} $) składa się z samych cyfr $ a $.

Rozwiązanie

Oczywiście $ a $ nie może być zerem. Gdyby zapis dziesiętny liczby
$ \displaystyle t_n = \frac{1}{2} n (n + 1) $ składał się z $ k $ jedynek, gdzie $ k \geq 2 $, to $ 9 t_n = 10^k - 1 $. Stąd po łatwych przekształceniach otrzymujemy $ (3n + 1) \cdot (3n + 2) = 2 \cdot 10^k = 2^{k+1} \cdot 5^k $. Ponieważ kolejne liczby naturalne $ 3n + 1 $ i $ 3n + 2 $ są względnie pierwsze i $ 2^{k+1} \leq 2^{2k} = 4^k < 5^k $, więc wynika stąd, że $ 3n + 1 = 2^{k+1} $ oraz $ 3n + 2 = 5^k $. Odejmując te równości stronami otrzymujemy $ 1 = 5^k - 2^{k+1} > 4^k - 2^{k+1} = 2^k (2^k - 2) \geq 8 $, ponieważ $ k \geq 2 $. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że $ a $ nie może być jedynką.

Zauważmy, że $ 8 t_n + 1 = (2n + 1)^2 $. Gdyby zapis dziesiętny liczby $ t_n $ kończył się cyfrą $ 2 $, $ 4 $, $ 7 $ lub $ 9 $, to zapis liczby $ 8 t_n + 1 $ kończyłby się cyfrą $ 7 $ lub $ 3 $. Jednak ostatnią cyfrą kwadratu dowolnej liczby naturalnej może być tylko, $ 0, 1, 4, 5, 6 $ lub $ 9 $. Zatem $ a \ne 2, 4, 7, 9 $.

Jeżeli zapis dziesiętny liczby $ t_n $ kończy się układem cyfr $ 33 $ lub $ 88 $, to zapis dziesiętny liczby $ 8 t_n + 1 $ kończy się układem cyfr $ 65 $ lub $ 05 $. Jednak zapis kwadratu żadnej liczby naturalnej $ m $ nie kończy się układem cyfr $ 65 $ lub $ 05 $. Jednak zapis kwadratu żadnej liczby naturalnej $ m $ nie kończy się układem cyfr $ 65 $ lub $ 05 $. Taka liczba $ m $ byłaby bowiem nieparzysta i podzielna przez $ 5 $, tzn. $ m = 10k + 5 $. Wobec tego liczba $ m^2 = 100k^2 + 100k + 25 $ dawałaby przy dzieleniu przez $ 100 $ resztę $ 25 $, czyli zapis dziesiętny liczby $ m^2 $ kończyłby się układem cyfr $ 25 $. Wobec tego $ a \ne 3, 8 $.

Natomiast $ a $ może być równe $ 5 $ lub $ 6 $. Mamy bowiem $ t_{10} = 55 $, $ t_{11} = 66 $, $ r_{36} = 666 $.

Uwaga. Udowodniono, że z liczb $ t_n $ dla $ n > 3 $ tylko liczby $ t_{10} $, $ t_{11} $ i $ t_{36} $ mają zapis dziesiętny złożony z jednakowych cyfr. Patrz David W. Ballew i Ronald C. Weger w Notices Amer. Math. Soc. 19 (1972), str. A - 511, abstract 72 T - A 152.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź