XXIII OM - I - Zadanie 8

Na płaszczyźnie dane są dwa przystające trójkąty równoboczne $ ABC $ i $ A'B'C' $. Udowodnić, że jeżeli środki odcinków $ \overline{AA'} $, $ \overline{BB'} $, $ \overline{CC'} $ nie są współliniowe, to są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Rozwiązanie

Niech punkty $ O $ i $ O' $ będą odpowiednio środkami kół opisanych na trójkątach $ ABC $ i $ A'B'C' $. Oznaczmy przez $ T $ przesunięcie płaszczyzny o wektor $ \overrightarrow{O'O} $ i niech $ A'' = T(A') $, $ B'' = T(B') $, $ C''  = T(C') $. Oznaczmy przez $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ odpowiednio środki odcinków $ \overline{AA'} $, $ \overline{BB'} $, $ \overline{CC'} $, a przez $ A_2 $, $ B_2 $, $ C_2 $ - środki odcinków $ \overline{AA''} $, $ \overline{BB''} $,
$ \overline{CC''} $ (rys. 6). Mamy $ \overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AA_2} = \displaystyle \frac{1}{2}  \overrightarrow{A'A} + \frac{1}{2}  \overrightarrow{AA''} =<br />
\frac{1}{2}  \overrightarrow{A'A''} = \frac{1}{2}  \overrightarrow{O'O} $. Analogicznie stwierdzamy, że $ \overrightarrow{B_1B_2} = \frac{1}{2}  \overrightarrow{O'O} $ i $ \overrightarrow{C_1C_2} = \frac{1}{2}  \overrightarrow{O'O} $. Zatem punkty $ A_2 $, $ B_2 $, $ C_2 $ są obrazami punktów
$ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ w przesunięciu o wektor $ \frac{1}{2}  \overrightarrow{O'O} $. Wystarczy więc udowodnić, że punkty $ A_2 $, $ B_2 $, $ C_2 $ są współliniowe lub są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Trójkąty równoboczne $ \triangle ABC $, $ \triangle A''B''C'' $ są wpisane w koło $ K $ o środku $ O $. Istnieje więc izometria $ \varphi $, która przeprowadza punkty $ A $, $ B $, $ C $ odpowiednio na $ A'' $, $ B'' $, $ C'' $. Przekształca ona koło $ K $ na siebie. Izometria $ \varphi $ jest więc obrotem o środku w punkcie $ O $ lub symetrią osiową.

Jeżeli $ \varphi $ jest obrotem (rys. 7), to dokonując obrotu $ S $ o kąt $ \displaystyle \frac{2}{3} \pi $ o środku w punkcie $ O $ przekształcimy punkty $ A $ i $ A'' $ na punkty $ B $ i $ B'' $ odpowiednio. Wobec tego $ S (A_2) = B_2 $ i analogicznie $ S(B_2) = C_2 $ i $ S(C_2) = A_2 $. Stąd $ \overline{A_2B_2} =  \overline{S(A_2) S(B_2)} = \overline{B_2C_2} $ i podobnie $ \overline{B_2C_2} = \overline{C_2A_2} $. Zatem trójkąt $ A_2B_2C_2 $ jest równoboczny lub $ A_2 = B_2 = C_2 =0 $ (rys. 8).

Jeżeli izometria $ \varphi $ jest symetrią osiową, to punkty $ A_2 $, $ B_2 $, $ C_2 $ należą do osi tej symetrii i wobec tego są współliniowe (rys. 9).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź