XXIII OM - I - Zadanie 11

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie

\[<br />
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną, a $ r $ - taką liczbą całkowitą, że

\[<br />
(1) \qquad  -2n + 1 < r < 2n + 1,<br />
\]

to liczba $ n^2 + r $ jest kwadratem pewnej liczby naturalnej tylko wtedy, gdy $ r = 0 $. Istotnie, z (1) wynika, że $ (n-1)^2 < n^2 + r < (n+1)^2 $, a liczba $ n^2 $ jest jedynym kwadratem liczby naturalnej zawartym między $ (n-1)^2 $ i $ (n+1)^2 $.

Gdyby liczby naturalne $ x $ i $ y $ spełniały równanie dane w zadaniu, wtedy mnożąc obie strony tego równania przez $ 4 $ stwierdzamy że liczba $ 4( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) $ jest kwadratem liczby naturalnej. Z drugiej jednak strony

\[<br />
(2) \qquad  4(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = (2x^2 + x + 1)^2 + (-x^2 + 2x + 3).<br />
\]

Przyjmując $ n = 2x^2 + x + 1 $ i $ r = -x^2 + 2x + 3 $ stwierdzamy bez trudu, że dla naturalnych $ x $ spełniona jest nierówność (1), tzn.

\[<br />
- 4x^2 - 2x - 1 < -x^2 + 2x + 3 < 4x^2 + 2x + 2.<br />
\]

Ponadto mamy $ r = - (x - 3) (x + 1) $, a więc równanie $ r = 0 $ ma tylko jeden pierwiastek w zbiorze liczb naturalnych, mianowicie $ x=3 $.

Na mocy początkowej uwagi liczba $ 4( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) $ jest więc kwadratem liczby naturalnej tylko, gdy $ r = 0 $, tzn. gdy $ x = 3 $. Podstawiając tę wartość do danego równania obliczamy, że $ y=11 $.

Jedynym rozwiązaniem danego równania w liczbach naturalnych jest więc $ x=3 $, $ y=11 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź