XXIII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że

\[<br />
2\sin \left( 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} \right) \frac{\pi}{4} = \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \ldots + \sqrt{2}}}}_{n \ \textrm{pierwiastków}}<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy $ a_n = \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \ldots + \sqrt{2}}}}_{n \ \textrm{pierwiastków}} $. Wtedy $ a_1 = \sqrt{2} $ oraz $ a_{n+1} =<br />
\sqrt{2 + a_n} $ dla $ n = 1, 2, \ldots  $.

Wykorzystując wzór na sumę $ n $ wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy

\[<br />
1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right)<br />
\]

i wobec tego

\[<br />
\sin \left( 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} \right) \frac{\pi}{4} = \sin 2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) \frac{\pi}{4} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2^{n+1}} \right) = \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}.<br />
\]

Zatem wzór podany w zadaniu można zapisać w następującej równoważnej postaci:

\[<br />
(1) \qquad  2 \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} = a_n.<br />
\]

Udowodnimy równość (1) przez indukcję. Przy $ n = 1 $ równość ta przybiera postać $ 2 \cos \displaystyle \frac{\pi}{4} = a_1 $. Jest ona prawdziwa, ponieważ $  \displaystyle \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ oraz $ a_1 = \sqrt{2} $.

Załóżmy z kolei, że dla pewnej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość (1). Udowodnimy, że

\[<br />
(2) \qquad  2 \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} = a_{n+1}.<br />
\]

Na mocy tożsamości $ 2 \cos^2 \alpha = 1 + \cos 2 \alpha $ oraz (1) mamy

\[<br />
\left( 2 \cos \frac{\pi}{2^{n+2}} \right)^2 = 2 \left(1 + \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} \right) = 2 + 2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}} = 2+ a_n.<br />
\]

Ponieważ $ \displaystyle \cos \frac{\pi}{2^{n+2}} > 0 $, więc otrzymujemy stąd, że $  \displaystyle \cos \frac{\pi}{2^{n+2}} = \sqrt{2 + a_n} = a_{n+1} $,
czyli równość (2).

Na mocy zasady indukcji równość (1) jest więc prawdziwa dla każdej liczby naturalnej $ n $.

Uwaga. Zadanie to jest szczególnym przypadkiem zadania przygotowawczego A serii IV, str. 26.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź