XXIII OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że nie istnieją takie liczby rzeczywiste $ a, b, c $, $ x_1, x_2, x_3 $, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $

\[<br />
\begin{split}<br />
ax^2 + bx + c &= a(x - x_2)(x - x_3), \\<br />
(1) \qquad bx^2 + cx + a &= b(x - x_3) (x - x_1),\\<br />
cx^2 + ax + b &= c(x - x_1) (x - x_2)<br />
\end{split}<br />
\]

oraz $ x_1 \neq x_2 $, $ x_2 \neq x_3 $, $ x_3 \neq x_1 $, $ abc \neq 0 $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że istnieją liczby rzeczywiste $ a, b, c, x_1, x_2, x_3 $ spełniające warunki zadania. Mnożąc pierwszą równość (1) przez $ x $ i odejmując od niej równość drugą otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad  a (x^3 - 1) = (x - x_3) [ax(x -x_2)-b(x- x_1)].<br />
\]

Podstawiając tu $ x = x_3 $ otrzymujemy, że $ a(x_3^3 - 1) = 0 $. Ponieważ $ a \ne 0 $, więc wynika stąd, że $ x_3^3 - 1 =0 $, czyli $ x^3 = 1 $.

Rozpatrując pierwszą i ostatnią równość (1) dowodzimy analogicznie, że $ x_2 = 1 $. Przeczy to założeniu, że $ x_2 \ne x_3 $.

Uwaga. Zadanie pozostaje prawdziwe, gdy założenie, że $ x_1 \ne x_2 $, $ x_2 \ne x_3 $, $ x_3 \ne x_1 $ i $ abc \ne 0 $ zastąpić przez założenie, że $ a \ne 0 $. Można również nie zakładać, że liczby $ a, b, c, x_1, x_2, x_3 $ są rzeczywiste. Podamy niżej rozwiązanie zadania przy tych słabszych założeniach.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź