XXIII OM - II - Zadanie 2

W prostokącie o bokach długości 20 i 25 umieszczono 120 kwadratów o boku długości 1. Dowieść, że istnieje koło o średnicy 1 zawarte w tym prostokącie i nie mające punktów wspólnych z żadnym z tych kwadratów.

Rozwiązanie

Koło o średnicy $ 1 $ ma punkt wspólny z kwadratem $ ABCD $ o boku długości $ 1 $ wtedy i tylko wtedy, gdy środek $ P $ tego koła jest odległy od pewnego boku kwadratu nie więcej niż o $ \displaystyle \frac{1}{2} $. Punkt $ P $ należy więc do figury $ A'B'B''C''C'D'D''A'' $ (rys. 11) złożonej z kwadratu $ ABCD $, czterech prostokątów o wymiarach $ 1 \times \displaystyle \frac{1}{2} $ i czterech ćwiartek koła o promieniu długości $ \displaystyle \frac{1}{2} $. Pole tej figury równe jest $ 1 + 4 \cdot 1 \cdot \displaystyle \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 3 +  \frac{\pi}{4} $.

Jeżeli więc każdemu ze $ 120 $ danych kwadratów przyporządkujemy taką figurę jak na rys. 11 i oznaczymy sumę tych figur przez $ F_1 $, to pole $ F_1 $ będzie nie większe od $ 120 \left( 3 + \frac{\pi}{4} \right) = 360 + 30\pi $, przyporządkowane figury mogą bowiem zachodzić na siebie.

Środek koła o średnicy $ 1 $ należący do danego prostokąta będzie odległy od pewnego boku danego prostokąta mniej niż o $ \displaystyle \frac{1}{2} $ wtedy i tylko wtedy, gdy koło nie będzie zawarte w tym prostokącie. Zbiór punktów danego prostokąta odległych od co najmniej jednego z jego boków mniej niż o $ \displaystyle \frac{1}{2} $ tworzy figurę $ F_2 $ (rys. 12) o polu $ 20 \cdot 25 - 19 \cdot 24 = 44 $.

Ponieważ $ \pi < 3,2 $, więc suma pól figur $ F_1 $ i $ F_2 $ jes mniejsza niż $ 360 + 30 \cdot 3,2 + 44 = 500 $. Natomiast pole danego prostokąta równe jest $ 20 \cdot 25 = 500 $.

Istnieje więc punkt $ P $ należący do danego prostokąta i nie należący do figury $ F_1 $, ani do figury $ F_2 $. Zatem koto o środku w punkcie $ P $ i średnicy $ 1 $ jest zawarte w danym prostokącie i nie ma punktów wspólnych z żadnym ze $ 120 $ danych kwadratów.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź