XXIII OM - II - Zadanie 3

Współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie kartezjańskim $ XOY $ są liczbami całkowitymi. Dowieść, że średnica koła opisanego na tym trójkącie jest nie większa od iloczynu długości boków trójkąta.

Rozwiązanie

Jeżeli długości boków trójkąta są równe odpowiednio $ a $, $ b $, $ c $, a długość promienia koła opisanego na trójkącie równa jest $ R $, to pole trójkąta wyraża się wzorem

\[<br />
(1) \qquad  S = \frac{abc}{4R}.<br />
\]

Jeżeli współrzędne wierzchołków trójkąta są równe odpowiednio $ A = (a_1, a_2) $, $ B = (b_1, b_2) $, $ C = (c_1, c_2) $, to jego pole wyraża się wzorem

\[<br />
S =<br />
\left| \frac{1}{2} \left|<br />
\begin{array}{ccc}<br />
1 & a_1 & a_2 \\<br />
1 & b_1 & b_2 \\<br />
1 & c_1 & c_2<br />
\end{array}<br />
\right| \right|=<br />
\left| \frac{1}{2} (b_1c_2 - b_2c_1 + a_1b_2 - a_2b_1 + c_1a_2 - c_2a_1) \right|.<br />
\]

Wynika stąd, że jeżeli współrzędne wierzchołków trójkąta są liczbami całkowitymi, to $ 2S $ jest liczbą całkowitą dodatnią, tzn. $ 2S \geq 1 $. Wobec tego ze wzoru (1) otrzymujemy, że $ \displaystyle \frac{abc}{2R} = 2S \geq 1 $, czyli $ abc \geq 2R $.

Uwaga. Można inaczej udowodnić, że liczba $ 2S $ jest naturalna. Wpiszmy mianowicie dany trójkąt $ ABC $ w taki prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych (rys. 13). Oznaczając $ x_1 = \min (a_1, b_1, c_1) $, $ x_2 = \max(a_1, b_1, c_1) $, $ y_1 = \min(a_2, b_2, c_2) $, $ y_2 = \max(a_2, b_2, c_2) $ stwierdzamy, że wierzchołkami tego prostokąta będą punkty $ (x_i, y_j) $, gdzie $ i, j = 1, 2 $. Zatem pole prostokąta $ N = (x_2 - x_1)(y_2 - y_1) $ jest liczbą naturalną. Różnica tego prostokąta i trójkąta $ ABC $ jest sumą co najwyżej trzech trójkątów prostokątnych, których przyprostokątne mają długości wyrażające się liczbami naturalnymi. Wobec tego pola tych trójkątów są równe $ \displaystyle \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} $, gdzie $ a, b, c $ są liczbami naturalnymi. Wobec tego pole $ S $ trójkąta $ ABC $ wyraża się liczbą postaci $ \displaystyle \frac{n}{2} $, gdzie $ n \in N $, mianowicie $ S = N - \displaystyle \frac{a+b+c}{2} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź