XXIII OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że w czworokącie wypukłym wpisanym w koło proste przechodzące przez środki boków i prostopadłe do boków przeciwległych przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Niech czworokąt wypukły $ ABCD $ będzie wpisany w koło. Oznaczmy przez $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ odpowiednio środki boków tego czworokąta, a przez $ O $ - środek odcinka $ PR $ (rys. 14).

Zatem *)

\[<br />
\begin{split}<br />
& P = \frac{1}{2} (A + B),\  Q = \frac{1}{2} (B + C),\ R = \frac{1}{2} (C + D),\ S = \frac{1}{2} (D + A),\\<br />
& O = \frac{1}{2}(P + R) = \frac{1}{4}(A + B + C  +D).<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ $ \displaystyle \frac{1}{2} (Q + S) = \frac{1}{4} (A + B + C + D) = O $, więc punkt $ O $ jest również środkiem odcinka $ \overline{QS} $.

Oznaczmy przez $ A'B'C'D' $ obraz czworokąta $ ABCD $ w symetrii względem punktu $ O $. Ponieważ w symetrii środkowej środek odcinka przechodzi na środek odcinka, a w rozważanej symetrii punkty $ P $ i $ R $ przechodzą na $ R $ i $ P $, a punkty $ Q $ i $ S $ - na $ S $ i $ Q $, więc punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ są również środkami boków czworokąta $ A'B'C'D' $. Czworokąt $ A'B'C'D' $ można wpisać w koło, ponieważ czworokąt $ ABCD $ można wpisać w koło i własność ta zachowuje się przy symeirii środkowej. Boki czworokąta $ A'B'C'D' $ są równoległe do odpowiednich boków czworokąta $ ABCD $. Zatem proste przechodzące przez środki boków czworokąta $ ABCD $ i prostopadłe do jego przeciwległych boków są równe prostym przechodzącym przez środki odpowiednich boków czworokąta $ A'B'C'D' $ i prostopadłym do tych boków. Proste te przechodzą przez środek koła opisanego na czworokącie $ A'B'C'D' $, ponieważ boki tego czworokąta są cięciwami okręgu, a prosta przechodząca przez środek cięciwy i do niej prostopadła przechodzi przez środek okręgu. Poszukiwanym punktem jest więc środek okręgu opisanego na czworokącie $ A'B'C'D' $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź