XXIII OM - III - Zadanie 1

Wielomiany $ u_1(x) = a_ix + b_i $ ($ a_i, b_i $ - liczby rzeczywiste; $ i = 1, 2, 3 $) spełniają dla pewnego naturalnego $ n > 2 $ równanie

\[<br />
(1) \qquad [u_1(x)]^n + [u_2(x)]^n = [u_3(x)]^n.<br />
\]

Udowodnić, że istnieją takie liczby rzeczywiste $ A, B, c_1, c_2, c_3 $, że $ u_i(x)=c_i(Ax+B) $ dla $ i = 1, 2, 3 $.

Rozwiązanie

Jeżeli $ a_1 = a_2 = 0 $, to wielomiany $ u_1 $ i $ u_2 $ są stałe. Wobec tego wielomian $ u_3 $ też jest stały, tzn. $ a_3 = 0 $. W tym przypadku wystarczy przyjąć $ c_i = b_i $ dla $ i = 1, 2, 3 $ oraz $ A = 0 $ i $ B = 1 $.

Niech więc co najmniej jedna z liczb $ a_1, a_2 $ będzie różna od zera, np. $ a_1 \ne 0 $. Oznaczając $ y = a_1x + b_1 $ otrzymamy $ u_j(x) = \displaystyle \frac{a_j}{a_1} y + \frac{b_ja_1 - a_jb_1}{a_1} $ dla $ j = 2, 3 $, czyli $ u_j(x) = A_jy + B_j $, gdzie $ A_j = \displaystyle \frac{a_j}{a_1} $, $ \displaystyle \frac{b_ja_1 - a_jb_1}{a_1} $, $ j = 2, 3 $. Równość (1) przybiera więc postać

\[<br />
(2) \qquad  y^n + (A_2y + B_2)^n = (A_3y + B_3)^n,\ \textrm{gdzie} y \in \mathbb{R}.<br />
\]

Porównując wyrazy wolne i współczynniki przy $ y $ i $ y^n $ (korzystamy tu z założenia n > 2) po obu stronach równości (2) otrzymamy

\[<br />
(3) \qquad  B^n_2 = B^n_3,<br />
\]
\[<br />
(4) \qquad  n \cdot A_2 B^{n-1}_2 = n \cdot A_3 B_3^{n-1},<br />
\]
\[<br />
(5) \qquad  1 + A_2^n = A_3^n.<br />
\]

Jeżeli $ B_2 = 0 $, to z (3) wynika, że $ B_3 = 0 $ i wobec tego $ b_ja_1 - a_jb_1 = 0 $ dla $ j = 2, 3 $, czyli $ b_j = \displaystyle \frac{a_j}{a_1} b_1 $. Wystarczy więc w tym przypadku przyjąć $ c_1 = 1 $, $ c_j = \displaystyle \frac{a_j}{a_1} $ dla $ j = 2, 3 $, $ A = a_1 $, $ B = b_1 $.

Jeżeli $ B_2 \ne 0 $, to z (3) wynika, że $ B_3 = 0 $ i dzieląc stronami (4) przez (3) otrzymamy $ \displaystyle \frac{A_2}{B_2} = \frac{A_3}{B_3} $. Podnosząc obie strony ostatniej nierówności do $ n $-tej potęgi i wykorzystując (3) otrzymujemy $ A^n_2 = A^n_3 $. Przeczy to równości (5). Zatem ten przypadek nie może mieć miejsca.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź