LVIII OM - III - Zadanie 3

Płaszczyznę podzielono prostymi poziomymi i pionowymi na kwadraty jednostkowe.
W każdy kwadrat należy wpisać liczbę całkowitą dodatnią tak, by każda
liczba całkowita dodatnia wystąpiła na płaszczyźnie dokładnie raz.
Rozstrzygnąć, czy można to uczynić w taki sposób, aby każda napisana liczba
była dzielnikiem sumy liczb wpisanych w cztery kwadraty sąsiednie.

Rozwiązanie

Udowodnimy, że istnieje postulowany sposób wpisania liczb.

Zacieniujmy niektóre kwadraty jednostkowe oraz narysujmy drogę przechodzącą
przez każdy kwadrat jednostkowy dokładnie raz tak, jak pokazuje rys. 15.
Następnie w kolejne kwadraty zaznaczonej drogi wpiszmy liczby
według następujących zasad:

Startujemy z kwadratu zaznaczonego grubą kropką.

om58_3r_img_15.jpg
om58_3r_img_16.jpg

A) Jeżeli dany kwadrat nie jest zacieniowany, wpisujemy najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią, która nie została jeszcze napisana na płaszczyźnie.

B) Jeżeli dany kwadrat $ K $ jest zacieniowany, ma on bok wspólny z dokładnie jednym kwadratem $ H $, w który jest już wpisana liczba i dla którego w trzy pozostałe sąsiednie kwadraty (różne od $ K $) są już wpisane liczby. Wówczas wpisujemy w $ K $ najmniejszą taką liczbę całkowitą dodatnią $ m $ nie występującą jeszcze na płaszczyźnie, że liczba wpisana w kwadrat $ H $ jest dzielnikiem sumy czterech liczb znajdujących się w kwadratach sąsiadujących z kwadratem $ H $.

(Por. rys. 16, gdzie przedstawiono rezultat wykonywania kroków A) i B) dla kilkudziesięciu początkowych kwadratów na drodze. Na przykład dla kwadratu $ K $, w który wpisana jest liczba 37, odpowiadającym kwadratem $ H $ jest kwadrat zawierający liczbę 13, a w pozostałe trzy sąsiadujące kwadraty wpisane są liczby 27, 12, 15. Zatem liczbę $ m $ należy wybrać tak, by suma $ 27+12+15+m=54+m $ dzieliła się przez $ 13 $. Liczby $ m=11 $ i $ m=24 $ zostały napisane na płaszczyźnie już wcześniej, wybieramy więc wartość $ m=37 $.)

Zauważmy przede wszystkim, że liczba $ m $ zgodna z wymaganiami warunku B) zawsze istnieje. Rzeczywiście, jeżeli w trzech kwadratach sąsiadujących z kwadratem $ H $ są już napisane liczby $ a $, $ b $, $ c $, zaś w kwadracie $ H $ znajduje się liczba $ d $, to liczbę $ m $ musimy wybrać w taki sposób, by liczba $ a+b+c+m $ dzieliła się przez $ d $. Jest to możliwe, bowiem na płaszczyźnie wpisano dotąd skończenie wiele liczb.

Zatem postępując we wskazany sposób wpiszemy liczbę całkowitą dodatnią w każdy kwadrat na płaszczyźnie. Pozostaje wykazać, że ów sposób wpisania spełnia warunki zadania.

Ponieważ nieskończenie wiele kwadratów jest niezacieniowanych, krok A) zapewnia, że każda liczba całkowita w pewnym momencie pojawi się na płaszczyźnie. Ponadto w krokach A) i B) wybieramy za każdym razem liczbę, która dotąd nie została napisana. Wobec tego każda liczba całkowita dodatnia będzie wpisana w dokładnie jeden kwadrat. Na koniec, dla dowolnego kwadratu $ H $, spośród czterech kwadratów sąsiadujących z $ H $ kwadrat występujący na zaznaczonej drodze jako ostatni jest zacieniowany, a więc wpisanie liczby w ten kwadrat następuje na podstawie procedury B). Z treści tej procedury wnioskujemy, że liczba znajdująca się w kwadracie $ H $ jest dzielnikiem sumy czterech liczb wpisanych w kwadraty sąsiadujące z kwadratem $ H $.

Wykazaliśmy tym samym, że opisany sposób rozmieszczania liczb w kwadratach spełnia warunki zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź