XXIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieje taki wielomian $ P(x) $ o współczynnikach całkowitych, że dla wszystkich $ x $ z przedziału $ \langle \frac{1}{10}, \frac{9}{10}\rangle $ zachodzi nierówność

\[<br />
\left| P(x) - \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{1000}<br />
\]

Rozwiązanie

Rozpatrzmy wielomian $ f_n(x) = \displaystyle \frac{1}{2} [(2x - 1)^n + 1] $. Ma on oczywiście współczynniki całkowite. Ponadto dla $ x \in \left< \displaystyle \frac{1}{10};\ \displaystyle \frac{9}{10} \right> $ mamy
$  \displaystyle -\frac{4}{5} \leq 2x-1 \leq \frac{4}{5} $ i wobec tego $ \left| f_n(x) - \displaystyle \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} \left| 2x - 1 \right|^n \leq \frac{1}{2} \left( \frac{4}{5} \right)^n $.

Zbadamy, dla jakich liczb naturalnych $ n $ zachodzi nierówność $ \displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{4}{5} \right)^n \leq \frac{1}{1000} $. Przekształcamy ją w sposób równoważny

\[<br />
\displaystyle \left( \frac{4}{5} \right)^n < \frac{1}{500},<br />
\]
\[<br />
n \cdot \log 0,8 < \log 0,002,<br />
\]
\[<br />
n > \frac{\log 0,002}{\log 0,8} = 27,8.<br />
\]

Zatem warunki zadania spełnia każdy wielomian $ f_n(x) $, gdzie $ n \geq 28 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź