XXIII OM - III - Zadanie 4

Na prostej nie mającej punktów wspólnych z kulą $ K $ dane są punkty $ A $ i $ B $. Rzut prostokątny $ P $ środka kuli $ K $ na prostą $ AB $ lezy między punktami $ A $ i $ B $, przy czym $ AP $ i $ BP $ są większe od promienia kuli. Rozpatrujemy zbiór $ Z $ trójkątów $ ABC $, których boki $ \overline{AC} $ i $ \overline{BC} $ są styczne do kuli $ K $. Udowodnić, że $ T $ jest trójkątem o największym obwodzie spośród trójkątów zbioru $ Z $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ T $ jest trójkątem o największym polu spośród trójkątów zbioru $ Z $.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw

Lemat. Jeżeli $ S $ jest wierzchołkiem, $ O $ - środkiem podstawy stożka obrotowego prostego, a punkt $ T $ należy do płaszczyzny podstawy, to prosta $ ST $ tworzy największy kąt z taką tworzącą $ SR $ stożka, że $ O \in \overline{TR} $ (rys 16).

Dowód. Dla dowolnego punktu $ R $ należącego do obwodu podstawy stożka mamy na mocy twierdzenia cosinusow

\[<br />
TR^2 = SR^2 + TS^2 - 2SR \cdot TS \cos \measuredangle TSR.<br />
\]

Ponieważ wielkości $ SR $ i $ TS $ są stałe (nie zależą od położenia punktu $ R $), więc $ \measuredangle TSR $ będzie największy, gdy jego cosinus będzie najmniejszy, tzn. gdy $ TR $ będzie możliwie duże. To ma miejsce, gdy $ O \in \overline{TR} $.

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Niech $ ABC_O $ będzie tym trójkątem rodziny $ Z $, który zawiera środek $ O $ kuli $ K $ (trójkąt ten oczywiście należy do rodziny $ Z $).

Niech $ \alpha_0 = \measuredangle BAC_0 $, $ \beta_0 = \measuredangle ABC_0 $ i analogicznie dla dowolnego trójkąta $ ABC $ rodziny $ Z $ niech $ \alpha = \measuredangle BAC $, $ \beta = \measuredangle ABC $. Ponieważ prosta $ AC $ jest styczna do kuli $ K $, więc jest ona tworzącą stożka obrotowego o osi $ AO $. Na mocy lematu mamy więc $ \alpha_0 \geq \alpha $ i podobnie $ \beta_0 \geq \beta $. Rysując trójkąty $ ABC_0 $ i $ ABC $ w jednej płaszczyźnie (rys. 17) stwierdzamy, że $ \triangle ABC \subset \triangle ABC_0 $ i trójkąty te mają wspólną podstawę. Wobec tego pole i obwód tróikata $ ABC_0 $ są nie mniejsze odpowiednio od pola i obwodu trójkąta $ ABC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź