XXIII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że suma cyfr liczby $ 1972^n $ dąży do nieskończoności, gdy $ n $ dąży do nieskończoności.

Rozwiązanie

Udowodnimy ogólnie, że jeżeli $ a $ jest liczbą naturalną parzystą niepodzielną przez $ 5 $ i $ s_n $ oznacza sumę cyfr liczby $ a^n $ dla $ n = 1, 2, \ldots $, to ciąg $ s_n $ dąży do nieskończoności.

Niech $ a_r, a_{r-1}, \ldots, a_2, a_1 $, gdzie $ a \ne 0 $, będą kolejnymi cyframi liczby $ a^n $, tzn. niech

\[<br />
a^n = (a_r, a_{r-1}, \ldots a_2, a_1)_{10}.<br />
\]

Cyfra $ a_1 $ jest różna od zera, ponieważ z założenia liczba $ a $ nie jest podzielna przez $ 5 $, a więc i liczba $ a_n $ nie jest podzielna przez $ 5 $. Mamy też $ a^n < 10^r $, czyli $ r > n \log_{10} a \geq n \log_{10} 2 $.

Udowodnimy

Lemat.

Dla każdej liczby naturalnej $ j $ spełniającej warunek

\[<br />
(1) \qquad  j \leq \frac{1}{4} \min (r, n)<br />
\]

co najmniej jedna z cyfr $ a_{j+1}, a_{j+2}, \ldots, a_{4j} $ liczby $ a^n $ jest różna od zera.

Dowód. Gdyby dla pewnej liczby naturalnej $ j $ spełniającej (1) zachodziło $ a_{j+1} = a_{j+2} = \ldots = a_{4j} = 0 $, to oznaczając

\[<br />
c = (a_j a_{j-1} \ldots a_2 a_1)_{10}<br />
\]

mielibyśmy $ a^n - c = (a_r a_{r-1} \ldots a_{4j+1} 0 \ldots 0)_{10} $. Zatem $ 10^{4j} \mid a^n - c $ i tym bardziej $ 2^{4j} \mid a^n - c $. Ponadto z $ 2 \mid a $ wynika, że $ 2^n \mid a^n $. Stąd wobec $ 4^j \leq n $ otrzymujemy $ 2^{4j} \mid a^n - (a^n - c) = c $. Jednak $ 2^{4j} = 16^j > 10^j > c $. Zatem $ c = 0 $. Jest to jednak niemożliwe, ponieważ ostatnia cyfra $ a_1 $ liczby $ c $ jest różna od zera. Uzyskana sprzeczność kończy dowód lematu.

Z założenia i z tego lematu wynika w szczególności, że w każdym z następujących ciągów cyfr istnieje wyraz różny od zera:

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
a_1, \\<br />
a_2,\ a_3,\ a_4, \\<br />
a_5,\ a_6,\ \ldots,\ a_{16}, \\<br />
\qquad\vdots \\<br />
a_{4^k+1},\ a_{4^k+2},\ \ldots,\ a_{4^k+1},<br />
\end{array}<br />
\]

gdzie liczba $ j = 4^k $ spełnia warunek (1), tzn. $ 4^k \leq \displaystyle \frac{1}{4} \min (r, n) $. Ponieważ $ \displaystyle \frac{1}{4} \min (r, n) \geq \frac{1}{4} \min (n \log_{10} 2, n) = \frac{1}{4} n \log_{10} 2 > \frac{1}{16} n $, więc jako $ k $ można przyjąć największą liczbę naturalną spełniającą jedną z następujących równoważnych nierówności

\[<br />
4^k \leq \frac{1}{16} n,\ 4^{k+2} \leq n,\ k + 2 \leq \log_4 n,\ \textrm{tzn.} k + 2 = [\log_4 n].<br />
\]

Ciągi (2) zawierają różne cyfry liczby $ a^n $, ciągów tych jest $ k + 2 $ i każdy z nich zawiera cyfrę różną od zera. Zatem suma cyfr $ s_n $ liczby $ a^n $ jest nie mniejsza od $ k + 2 = [\log_4 n] $.

Ponieważ $ s_n \geq [\log_4 n] > \log_4 n - 1 $ i $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \log_4 n = \infty $, więc $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} s_n = \infty $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź