XXII OM - I - Zadanie 2

Udowodnić, że dla każdych liczb dodatnich $ p $ i $ q $ spełniających warunek $ p + q = 1 $ zachodzi nierówność

\[<br />
p \log p + q \log q \geq - \log 2.<br />
\]

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że $ 0 < p < 1 $ oraz $ q = 1 - p $. Zatem zadanie sprowadza się do tego, by wykazać, że funkcja $ f(p)  = p \log p + (1 - p) \log (1 - p) $ w przedziale $ (0; 1) $ przybiera wartości nie mniejsze od $ -\log 2 $. Obliczamy pochodną tej funkcji:

\[<br />
f'(p) = \log p + 1 - log(1 - p) - 1 = log \frac{p}{1-p}.<br />
\]

Rozwiązując równanie $ f'(p) = 0 $, czyli $ \log \frac{p}{1-p} = 0 $, otrzymujemy $ p = \frac{1}{2} $. Zatem funkcja $ f(p) $ może mieć ekstremum tylko w punkcie $ p = -\frac{1}{2} $.

Dla $ p \in \left(0; \frac{1}{2} \right) $ mamy $ \frac{p}{1-p} < 1 $, czyli $ f'(p) < 0 $. Zatem w przedziale $ \left( 0; \frac{1}{2} \right) $ funkcja $ f(p) $ jest malejąca. Dla $ p \in \left( \frac{1}{2}; 1 \right) $ mamy $ \frac{p}{1-p}> 1 $ czyli $ f'(p) >0 $. Zatem w przedziale $  \left( \frac{1}{2}; 1 \right) $ funkcja $ f(p) $ jest rosnąca. Wobec tego w punkcie $ p=\frac{1}{2} $ funkcja $ f(p) $ ma minimum równe $ f \left(\frac{1}{2} \right) = -\log 2 $ i jest to najmniejsza wartość przybierana przez tę funkcję w przedziale $ (0; 1) $. Inaczej mówiąc $ f(p) =p\log p +(1 -p) \log (1 - p) \geq -\log 2 $ dla każdego $ p \in (0; 1) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź