XXII OM - I - Zadanie 5

Dana jest liczba naturalna $ N $. Obliczyć liczbę takich ciągów $ (x_1, \ldots, x_N) $, że $ x_i = 7 $ albo $ x_i = —13 $ ($ i = 1, \ldots, N $) oraz

\[<br />
\sum_{i=1}^N x_i = 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dla pewnej liczby naturalnej $ N $ istnieje ciąg $ (x_1, \ldots, x_N) $ spełniający warunki zadania. Oznaczmy przez $ t $ liczbę wyrazów tego ciągu równych $ 7 $. Wtedy z warunków zadania wynika, że $ 7t = 13(N - t) $, czyli $ 20r = 13N $. Wynika stąd, że liczba $ N $ jest podzielna przez $ 20 $.

Na odwrót, jeżeli $ N = 20r $, gdzie $ r $ jest pewną liczbą naturalną to, aby otrzymać ciąg $ (x_1, \ldots, x_N) $ spełniający warunki zadania, w którym t wyrazów równych jest 7, musimy tak obrać liczbę t, by $ 20t = 13N $, czyli $ t = 13r $. Każdy taki ciąg otrzymamy więc pisząc dowolnie na $ 13r $ miejscach liczbę $ 7 $, a na pozostałych $ -13 $. Liczba takich ciągów jest więc równa $ \binom{20r}{13r} $.

Zatem liczba, o którą chodzi w zadaniu, równa jest $ 0 $, gdy $ N $ nie jest podzielna przez $ 20 $, i równa jest $ \binom{20r}{13r} $ gdy $ N = 20r $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź