XXII OM - I - Zadanie 6

Niech $ f(x,y,z) = \max(x^2 — yz, y^2 — xz, z^2 — xy) $. Znaleźć zbiór wartości funkcji $ f(x,y,z) $ rozpatrywanej dla liczb $ x,y,z $ spełniających warunki:

\[<br />
(1) \qquad x^2 + y^2 + z^2 = 5, \; yz + zx + xy = 2, \; x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0.<br />
\]

Uwaga: $ \max (a, b, c) $ jest to największa z liczb $ a, b, c $.

Rozwiązanie

Z (1) wynika, że

\[<br />
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 9,<br />
\]

a więc $ x + y + z = 3 $. Wynika stąd, że warunki (1) dodane w zadaniu są równoważne warunkom:

\[<br />
(2) \qquad  x^2 + y^2  +z^2 = 5, \quad x+y+z = 3, \quad x\geq 0, \quad y \geq 0, \quad z \geq 0.<br />
\]

Jeśli dokonamy dowolnej permutacji liter $ x $, $ y $, $ z $, to warunki jadania nie ulegną zmianie. Zatem bez zmniejszenia ogólności możemy ograniczyć się do rozpatrywania tylko takich liczb $ x $, $ y $, $ z $, że $ 0 < x < y < z $. Wtedy oczywiście $ x^2 - yz \leq y^2 - xz < z^2 - xy $, i więc $ f(x, y, z) = z^2 - xy $. Za pomocą (1) i (2) obliczamy, że $ z^2 - xy = z^2 + yz + zx - 2 = z^2 + z (3 - z) - 2 = 3z - 2 $.

Zadanie nasze sprowadziliśmy więc do następującego: Znaleźć zbiór wartości funkcji $ g(z) = 3z - 2 $ rozpatrywanej dla liczb $ z $ spełniających warunek: istnieją takie liczby $ x $, $ y $, że

\[<br />
(3) \qquad  x^2 + y^2 + z^2 = 5, \quad  x + y + z = 3, \quad   0 \leq x \leq y \leq z.<br />
\]

Równanie $ x + y + z = 3 $ określa płaszczyznę $ P $ odległą o $ \sqrt{3} $ od początku układu, a równanie $ x^2 + y^2 + z^2 = 5 $ - sferę $ S $ o środku w punkcie $ (0, 0, 0) $ i promieniu $ \sqrt{5} $. Ponieważ $ \sqrt{3} < \sqrt{5} $, więc układ równań (3) określa okrąg $ K $ będący częścią wspólną płaszczyzny $ P $ i sfery $ S $. Interesują nas tylko takie punkty $ (x, y, z) $ okręgu $ K $, które spełniają warunek $ 0 \leq x \leq y \leq z $. Aby je wyznaczyć, przecinamy okrąg $ K $ płaszczyznami $ x = 0 $, $ x = y $, $ y = z $. Wyznaczamy punkty przecięcia (rys. 8) rozwiązując następujące układy równań:

\[<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
y^2 +z^2=5\\<br />
y + z =3<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Rozwiązania: $ A = (0, 1, 2) $ i $ B = (0, 2, 1) $.

\[<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
y^2 +z^2=5\\<br />
y + z =3<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Rozwiązania:

\[<br />
C= \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 - \frac{2}{3} \sqrt{3} \right)<br />
\]
\[<br />
D= \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{2}{3} \sqrt{3} \right).<br />
\]
\[<br />
\left\{<br />
\begin{array}{l}<br />
x^2 +2z^2=5\\<br />
x + 2z =3<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Rozwiązania:

\[<br />
E= \left(1 - \frac{2}{3} \sqrt{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \right),<br />
\]
\[<br />
F= \left(1 + \frac{2}{3} \sqrt{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right).<br />
\]

Zatem warunek $ x \geq 0 $ spełniają punkty należące do łuku $ \widehat{AFB} $, warunek $ x \leq y $ - punkty należące do łuku $ \widehat{CED} $, a warunek $ y \leq z $ - punkty należące do łuku $ \widehat{EDF} $ (rys. 8). Wobec tego warunek $ 0 \leq x \leq y \leq z $ spełniają punkty należące do części wspólnej tych łuków, tzn. punkty należące do łuku $ \widehat{AD} $.

Rzut łuku $ \widehat{AD} $ na oś z jest odcinkiem, którego końcami są rzuty punktów $ A $ i $ D $, tzn. punkty $ (0, 0, 2) $ i $  \left( 0, 1 + \frac{2}{3} \sqrt{3} \right) $ j. Ponieważ funkcja $ g(z) = 3z - 2 $ jest rosnąca, więc zbiór wartości tej funkcji rozpatrywanej dla punktów łuku $ \widehat{AD} $ jest odcinkiem o końcach $ g(2) = 4 $ i $ g \left(1 + \frac{2}{3} \sqrt{3} \right) = 1 + 2 \sqrt{3} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź