XXII OM - I - Zadanie 9

Znaleźć cyfry $ a, b, c $, dla których przy każdym $ n $ naturalnym zachodzi równość

\[<br />
\overline{\underbrace{aa\ldots a}_n\underbrace{bb\ldots b}_n} + 1 = (\overline{\underbrace{cc\ldots c}_n} + 1)^2<br />
\]

Uwaga: Symbol $ \overline{a_1a_2\ldots a_k} $ oznacza liczbę, której kolejnymi cyframi w układzie dziesiętnym są $ a_1, a_2, \ldots, a_k $.

Rozwiązanie

Oznaczmy $ p_n = \overline{\underbrace{11 \ldots 1}_n} $. Wtedy $ p_n = 10^{n-1} + 10^{n-2} + \ldots + 10 + 1 =  \frac{10^n -1}{9} $ i stąd $ 10^n = 9p_n + 1 $.

Mamy

\[<br />
\overline{\underbrace{aa \ldots a}_n \underbrace{bb \ldots b}_n} =<br />
\overline{\underbrace{aa \ldots a}_n} \cdot 10^n + \overline{\underbrace{bb \ldots b}_n} = ap_n 10^n + bp_n = ap_n (9p_n + 1) + bp_n<br />
\]

oraz $ (\overline{\underbrace{cc \ldots c}_n} + 1 )^2 = (cp_n + 1)^2 = c^2p^2_n + 2cp_n + 1 $.

Równość dana w zadaniu przybiera więc postać

\[<br />
9ap_n^2 + (a + b)p_n + 1 = c^2p_n^2 + 2cp_n + 1,<br />
\]

czyli

\[<br />
(1) \qquad  9ap_n + (a + b) = c^2p_n + 2c.<br />
\]

Wykorzystamy twierdzenie: Jeżeli dwa wielomiany $ f(x) $ i $ g(x) $ dla nieskończenie wielu argumentów $ x $ przybierają równe wartości, to mają one odpowiednie współczynniki równe.

W naszym przypadku wielomiany $ f(x) = 9ax + (a + b) $ i $ g(x) = c^2x + 2c $ przybierają równe wartości dla $ x = p_n $, gdzie $ n = 1, 2, \ldots $. Zatem na mocy przytoczonego twierdzenia odpowiednie współczynniki wielomianów $ f(x) $ i $ g(x) $ są równe, tzn.

\[<br />
(2) \qquad  9a = c^2 \textrm{ i }  a + b = 2c.<br />
\]

Na odwrót, jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają (2), to oczywiście dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość (1). Wystarczy więc wyznaczyć wszystkie takie cyfry $ a $, $ b $, $ c $, które spełniają układ (2). Z pierwszego równania wynika, że cyfra $ c $ jest podzielna przez $ 3 $, tzn. $ c = 0, 3, 6 $ lub $ 9 $. W każdym z tych przypadków łatwo wyznaczyć odpowiednie wartości cyfr $ a $ i $ b $. Otrzymujemy następujące rozwiązania układu (2): $ (a, b, c) = (0, 0, 0) $, $ (1, 5, 3) $, $ (4, 8, 6) $ i $ (9, 9, 9) $.

Uwaga 1. Z założenia, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi (1), można inaczej wyprowadzić układ równań (2). Mianowicie dzieląc stronami równość (1) przez $ p_n $ i przechodząc do granicy, gdy $ n \to \infty $ otrzymujemy, że $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = \infty $ i wobec tego $ {\displaystyle \lim_{n \to \infty} }\left( 9a + \frac{a+b}{p_n} \right) = 9a + 0 = 9a $ oraz $ {\displaystyle \lim_{n \to \infty} }\left( c^2 + \frac{2c}{p_n} \right)= c^2 + 0 = c^2 $. Zatem $ 9a = c^2 $. Z tej równości i z (1) wynika, że $ a + b = 2c $.

Uwaga 2. Analogiczne zadanie można rozwiązać w przypadku dowolnej podstawy numeracji $ g \geq 2 $. Dokonując podobnych przekształceń, jak w podanym wyżej rozwiązaniu, dochodzimy do równości

\[<br />
\nr{1'} (g - 1 )ap_n + (a + b) = c^2p_n + 2c,<br />
\]

która zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej $ n $. Podobnie, jak poprzednio stwierdzamy, że (1') jest równoważna następującemu układowi

\[<br />
\nr{2'} (g-1)a = c^2  \textrm{ i }   a + b = 2c.<br />
\]

Znajdziemy wszystkie cyfry $ a $, $ b $, $ c $ w układzie numeracji o podstawie $ g $, które spełniają układ równań (2'). Oznaczmy przez $ t^2 $ największy kwadrat liczby naturalnej $ t $, który jest dzielnikiem liczby $ g-1 $. Wtedy $ g-1 = t^2s $, gdzie $ s $ jest liczbą bezkwadratową, tzn. $ s $ nie jest podzielne przez kwadrat liczby naturalnej większej od jedności. Z pierwszego równania (2') wynika, że liczba $ c $ jest podzielna przez $ ts $, tzn. $ c = tsu $, gdzie $ u $ jest pewną liczbą całkowitą. Z tego samego równania otrzymujemy, że $ a = su^2 $. Wreszcie z drugiego równania układu (2') otrzymujemy, że $ b = su(2t - u) $.

Zatem wszystkie rozwiązania układu (2') w liczbach całkowitych dane są wzorami:

\[<br />
\nr{3'}<br />
\begin{array}{l}<br />
a = su^2,\\<br />
b = su(2t - u),\\<br />
c = tsu,<br />
\end{array}<br />
\]

gdzie $ u $ jest dowolną liczbą całkowitą.

Jednak w naszym zadaniu liczby $ a $, $ b $, $ c $ są cyframi przy podstawie numeracji $ g $, tzn. spełniają nierówności $ 0 \leq a, b, c \leq g - 1 = t^2s $. Nierówność $ 0 \leq c \leq g - 1 $ można zapisać w postaci $ 0 \leq tsu < t^2s $, co jest równoważne z $ 0 \leq u \leq t $. Na odwrót, jeżeli $ 0 \leq u \leq t $, to mamy $ 0 \leq a = su^2 \leq st^2 = g - 1 $ oraz $ 0 \leq b = su (2t - u)=s (2tu - u^2) = s (t^2 -(t - u)^2) \leq st^2 = g - 1 $. Zatem wszystkie rozwiązania zadania dane są wzorami (3'), gdzie $ 0 \leq u \leq t $.

W szczególności przy $ u = 0 $ otrzymujemy rozwiązanie $ a = b = c = 0 $, a przy $ u = t $ - rozwiązanie $ a = b = c = g - 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź