XXII OM - I - Zadanie 11

Rzucamy $ 2n $ razy monetą. Niech $ p_n $ oznacza prawdopodobieństwo, że otrzymamy serię o długości $ r > n $. Udowodnić, że $ \lim p_n = 0 $.

Rozwiązanie

Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie ciągi $ 2n $-wyrazowe o wyrazach orzeł lub reszka; wszystkie one są jednakowo prawdopodobne i jest ich $ 2^{2n} $. Niech $ A_n $ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że otrzymamy serię o długości co najmniej $ n $.

Rozważmy następujące trzyetapowe postępowanie:

1) Wybór pewnych $ n $ kolejnych miejsc spośród $ 2n $;

2) Umieszczenie na wybranych miejscach samych orłów lub samych reszek;

3) Zapełnienie pozostałych miejsc dowolnie orłami i reszkami. W wyniku każdego takiego postępowania otrzymujemy ciąg będący zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu $ A_n $, ponieważ ciąg taki zawiera serię długości $ \geq n $. Na odwrót każdy ciąg zawierający serię długości $ \geq n $ można otrzymać w wyniku takiego postępowania. Oczywiście ten sam ciąg możemy otrzymać kilkakrotnie. Zatem liczba opisanych wyżej sposobów postępowania jest większa od liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $ A_n $.

Wyznaczymy teraz liczbę opisanych wyżej sposobów postępowania. Czynność 1) można wykonać na $ n + 1 $ sposobów, ponieważ pierwszym z wybranych $ n $ kolejnych miejsc może być tylko miejsce o numerze $ 1, 2, \ldots, n $ lub $ n + 1 $. Czynność 2) można wykonać na dwa sposoby: albo umieszczając orły, albo umieszczając reszki. Wreszcie czynność 3) można wykonać na $ 2^n $ sposobów, ponieważ mamy $ n $ pozostałych miejsc zapełnić orłami lub reszkami.

Tak więc liczba wszystkich opisanych wyżej sposobów postępowania jest równa $ 2(n + 1) 2^n $.

Ze wzoru Newtona otrzymujemy, że dla $ n \geq 2 $

\[<br />
2^n = (1 + 1)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \ldots + \binom{n}{n} > \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.<br />
\]

Zatem

\[<br />
0 < p(A_n) < \frac{2(n+1)}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{4(n+1)}{n(n-1)} = \frac{4}{n} \left( 1 + \frac{2}{n-1} \right).<br />
\]

Ponieważ $ {\displaystyle \lim_{n \to \infty}} \frac{4}{n} = 0 $ i $ {\displaystyle \lim_{n \to \infty}} \frac{2}{n-1} = 0 $, więc wynika stąd, że
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p(A_n) = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź