LVIII OM - III - Zadanie 5

W czworościanie $ ABCD $ spełnione są zależności

\[<br />
\begin{split}\measuredangle BAC+\measuredangle BDC & =\measuredangle ABD+\measuredangle ACD,  \\<br />
\measuredangle BAD+\measuredangle BCD & =\measuredangle ABC+\measuredangle ADC.<br />
\end{split}<br />
\]

Udowodnić, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi $ AB $ i $ CD $.

Rozwiązanie

Rozważmy sześciokąt $ A_1BA_2CA_3D $ będący siatką czworościanu $ ABCD $ (rys. 18).

om58_3r_img_18.jpg
om58_3r_img_19.jpg

Przepisując pierwszą z danych w treści zadania równości jako

\[<br />
\measuredangle A_1BD+\measuredangle A_3CD=\measuredangle BDC+\measuredangle BA_2C<br />
\]

widzimy, że suma miar kątów $ A_1BA_2 $ i $ A_2CA_3 $ (traktowanych
jako kąty wewnętrzne sześciokąta $ A_1BA_2CA_3D $,
a zatem niekoniecznie wypukłych) jest równa sumie
miar kątów wewnętrznych trójkątów $ BDC $ i $ BA_2C $,
co daje

\[<br />
(1) \qquad \measuredangle A_1BA_2+\measuredangle A_2CA_3=360^\circ.<br />
\]

Ponieważ $ BA_1=BA_2 $ oraz $ CA_2=CA_3 $ (gdyż odpowiednie odcinki
pochodzą z rozklejenia jednej krawędzi czworościanu),
więc na mocy równości (1) trójkąty równoramienne
$ A_1BA_2 $ i $ A_2CA_3 $ są podobne (przy czym
mogą być zdegenerowane do odcinka).
Wobec tego

\[<br />
(2) \qquad {A_2A_1\over A_2B}={A_2A_3\over A_2C}.<br />
\]

Ponadto $ \measuredangle BA_2A_1=\measuredangle CA_2A_3 $, przy czym oba kąty są jednakowo zorientowane, skąd otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad \measuredangle BA_2C=\measuredangle A_1A_2A_3.<br />
\]

Z zależności (2) i (3) wynika, że
trójkąty $ BA_2C $ oraz $ A_1A_2A_3 $
są podobne. Analogicznie korzystając z drugiej
równości danej w treści zadania dowodzimy,
iż trójkąty $ A_1BD $ i $ A_1A_2A_3 $ są podobne.
Wobec tego podobne są trójkąty $ BA_2C $ i $ A_1BD $;
ze względu na równość $ A_1B=BA_2 $ są one
przystające. Zatem

\[<br />
(4) \qquad A_2C=BD\quad\hbox{oraz}\quad BC=A_1D.<br />
\]

Niech teraz punkty $ M $, $ N $ będą odpowiednio
środkami krawędzi $ AB $, $ CD $ w czworościanie $ ABCD $ (rys. 19).
Na mocy (4) trójkąty $ BDC $ i $ ACD $ są przystające.
Wobec tego odcinki $ BN $ i $ AN $, będące odpowiednio
środkowymi w tych trójkątach, mają równe długości.
Innymi słowy, $ AN=BN $, zatem w trójkącie równoramiennym
$ ANB $ środkowa $ NM $ jest prostopadła do boku $ AB $.
Analogicznie rozpatrując trójkąt $ CMD $ dowodzimy,
że $ MN\perp CD $.

Prosta $ MN $ jest więc krawędzią przecięcia
płaszczyzn symetralnych
krawędzi $ AB $ i $ CD $ czworościanu $ ABCD $. Środek
sfery opisanej na czworościanie leży na każdej
z tych płaszczyzn, zatem leży na prostej $ MN $,
co dowodzi tezy.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź