XXII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że każdy wielościan wypukły ma ścianę trójkątną lub kąt trójścienny.

Rozwiązanie

Załóżmy, że istnieje wielościan wypukły $ W $ nie mający ani ściany trójkątnej, ani kąta trójściennego. Niech $ w $ będzie liczbą wierzchołków, $ k $ - liczbą krawędzi, a $ s $ - liczbą ścian tego wielościanu i niech $ \varphi $ będzie sumą miar wszystkich kątów płaskich przy wierzchołkach wielościanu $ W $. Ponieważ z każdego wierzchołka wychodzą co najmniej cztery krawędzie, a każda krawędź łączy dwa wierzchołki, więc $  k \geq \frac{1}{2} \cdot 4w = 2w $. Ponieważ każda ściana ma co najmniej cztery krawędzie, a dla $ n \geq 4 $ suma miar kątów wewnętrznych $ n $-kąta jest $ \geq 2\pi $, więc $ \varphi \geq 2\pi s $. Wewnątrz każdej ściany $ S_i $ wybierzmy punkt $ O_i $ i połączmy go ze wszystkimi wierzchołkami tej ściany. W wyniku otrzymujemy podział powierzchni wielościanu na $ 2k $ trójkątów, ponieważ każda krawędź jest bokiem dokładnie dwóch trójkątów. Niech $ \Psi $ będzie sumą miar kątów we wszystkich trójkątach. Wtedy $ 4\pi w \leq 2k\pi = \Psi = \varphi + 2\pi s \leq 2\varphi $, a więc $ \varphi < 2\pi w $. Z drugiej strony, ponieważ wielościan $ W $ jest wypukły, więc $ \varphi < 2\pi w $. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje wielościan o założonych własnościach.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź