XXII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ A, B, C $ są kątami trójkąta, to

\[<br />
1 < \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ $ C = \pi - (A + B) $, więc

\[<br />
\begin{split}<br />
\cos A + \cos B + \cos C &=<br />
2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} - \cos (A + B) =\\<br />
&=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} - 2\cos^2 \frac{A + B}{2} +1.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
\cos A+\cos B+ \cos C &=1 + 2\cos \frac{A + B}{2} \left( \cos \frac{A-B}{2}- \cos \frac{A+B}{2} \right) =\\<br />
&= 1 + 4 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}> 1.<br />
\end{split}<br />
\]

Ponadto, biorąc pod uwagę, że $  \left| \frac{A-B}{2} \right| \leq \frac{\pi}{2} $, otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
\cos A + \cos B + \cos C &=<br />
2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} - 2\cos^2 \frac{A + B}{2} +1 \leq\\<br />
&\leq2 \cos \frac{A+B}{2} - 2\cos^2 \frac{A+B}{2} + 1 =\\<br />
&= -2 \left( \cos \frac{A + B}{2} - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{2} \leq \frac{3}{2}.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź