- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
XXII OM - II - Zadanie 3
Danych jest 6 prostych w przestrzeni, z których żadne 3 nie są równoległe, żadne 3 nie przechodzą przez ten sam punkt i żadne 3 nie są zawarte w jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że wśród tych 6 prostych istnieją 3 proste wzajemnie skośne.
Rozwiązanie
Z warunków zadania wynika, że w każdej trójce rozważanych prostych istnieje para prostych skośnych. Przyporządkujmy danym prostym w sposób wzajemnie jednoznaczny wierzchołki sześciokąta wypukłego oznaczone cyframi (rys. 11). Jeżeli pewne dwie proste są skośne, to połączmy odpowiadające im wierzchołki sześciokąta linią ciągłą, a jeżeli nie są skośne - linią przerywaną.
Zadanie sprowadziliśmy więc do następującego: Danych jest sześć punktów. Każde dwa z nich połączone są linią ciągłą lub przerywaną. Przy tym każdy trójkąt o wierzchołkach należących do danego zbioru punktów ma co najmniej jeden bok będący linią ciągłą. Dowieść, że istnieje trójkąt, którego wszystkie boki są liniami ciągłymi.
Przypuśćmy, że nie ma trójkąta, którego wszystkie boki są. liniami ciągłymi. Istnieje więc para punktów połączona linią przerywaną. Niech to będzie na przykład para . Ponieważ w każdym z trójkątów
;
;
;
istnieje bok narysowany linią ciągłą i bokiem tym nie jest
, więc każdy z punktów
jest połączony linią ciągłą z co najmniej jednym z punktów
.
Gdyby pewien z punktów był połączony linią ciągłą z co najmniej trzema z punktów
, na przykład punkt
z punktami
, to rozważając trójkąty
;
;
, w których dwa boki narysowane są linią ciągłą, stwierdzamy, że boki
;
oraz
są narysowane linią przerywaną (rys. 11). W trójkącie
żaden z boków nie byłby więc narysowany linią ciągłą. Jest to sprzeczne z warunkami zadania.
Zatem każdy z punktów i
jest połączony linią ciągłą z dokładnie dwoma z punktów
. Bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy założyć, że punkt
jest połączony linią ciągłą z punktami
i
, a punkt
- z punktami
i
. Natomiast punkt
jest połączony linią przerywaną z punktami
i
, a punkt
- z punktami
i
(rys. 12). Rozważając trójkąt
stwierdzamy, że punkty
i
są połączone linią przerywaną. Wtedy jednak trójkąt
ma wszystkie boki narysowane linią przerywaną. Jest to sprzeczne z warunkami zadania. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że istnieje trójkąt, którego wszystkie boki są narysowane liniami ciągłymi.
Komentarze
Dodaj nową odpowiedź