XXII OM - II - Zadanie 3

Danych jest 6 prostych w przestrzeni, z których żadne 3 nie są równoległe, żadne 3 nie przechodzą przez ten sam punkt i żadne 3 nie są zawarte w jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że wśród tych 6 prostych istnieją 3 proste wzajemnie skośne.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że w każdej trójce rozważanych prostych istnieje para prostych skośnych. Przyporządkujmy danym prostym w sposób wzajemnie jednoznaczny wierzchołki sześciokąta wypukłego oznaczone cyframi $ 1, 2, \ldots, 6 $ (rys. 11). Jeżeli pewne dwie proste są skośne, to połączmy odpowiadające im wierzchołki sześciokąta linią ciągłą, a jeżeli nie są skośne - linią przerywaną.

Zadanie sprowadziliśmy więc do następującego: Danych jest sześć punktów. Każde dwa z nich połączone są linią ciągłą lub przerywaną. Przy tym każdy trójkąt o wierzchołkach należących do danego zbioru punktów ma co najmniej jeden bok będący linią ciągłą. Dowieść, że istnieje trójkąt, którego wszystkie boki są liniami ciągłymi.

Przypuśćmy, że nie ma trójkąta, którego wszystkie boki są. liniami ciągłymi. Istnieje więc para punktów połączona linią przerywaną. Niech to będzie na przykład para $ 1, 2 $. Ponieważ w każdym z trójkątów $ 1, 2, 3 $; $ 1, 2, 4 $; $ 1, 2, 5 $; $ 1, 2, 6 $ istnieje bok narysowany linią ciągłą i bokiem tym nie jest $ 1, 2 $, więc każdy z punktów $ 3, 4, 5, 6 $ jest połączony linią ciągłą z co najmniej jednym z punktów $ 1, 2 $.

Gdyby pewien z punktów $ 1, 2 $ był połączony linią ciągłą z co najmniej trzema z punktów $ 3, 4, 5, 6 $, na przykład punkt $ 1 $ z punktami $ 3, 4, 5 $, to rozważając trójkąty $ 1, 3, 4 $; $ 1,4, 5 $; $ 1, 3, 5 $, w których dwa boki narysowane są linią ciągłą, stwierdzamy, że boki $ 3, 4 $; $ 4, 5 $ oraz $ 3, 5 $ są narysowane linią przerywaną (rys. 11). W trójkącie $ 3, 4, 5 $ żaden z boków nie byłby więc narysowany linią ciągłą. Jest to sprzeczne z warunkami zadania.

Zatem każdy z punktów $ 1 $ i $ 2 $ jest połączony linią ciągłą z dokładnie dwoma z punktów $ 3, 4, 5, 6 $. Bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy założyć, że punkt $ 1 $ jest połączony linią ciągłą z punktami $ 3 $ i $ 4 $, a punkt $ 2 $ - z punktami $ 5 $ i $ 6 $. Natomiast punkt $ 1 $ jest połączony linią przerywaną z punktami $ 5 $ i $ 6 $, a punkt $ 2 $ - z punktami $ 3 $ i $ 4 $ (rys. 12). Rozważając trójkąt $ 2, 5, 6 $ stwierdzamy, że punkty $ 5 $ i $ 6 $ są połączone linią przerywaną. Wtedy jednak trójkąt $ 1, 5, 6 $ ma wszystkie boki narysowane linią przerywaną. Jest to sprzeczne z warunkami zadania. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że istnieje trójkąt, którego wszystkie boki są narysowane liniami ciągłymi.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź