XXII OM - II - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów $ Z $ o tej własności, że żadne dwie odległości punktów zbioru $ Z $ nie są równe. Punkty $ A, B $ należące do $ Z $ łączymy wtedy i tylko wtedy, gdy $ A $ jest punktem najbliższym $ B $ lub $ B $ jest punktem najbliższym $ A $. Udowodnić, że żaden punkt zbioru $ Z $ nie będzie połączony z więcej niż pięcioma innymi.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt $ A \in Z $ jest połączony z pewnymi punktami $ B $ i $ C $ zbioru $ Z $ i niech na przykład $ AB < AC $. Wtedy punkt $ C $ nie jest najbliższy $ A $, a więc z warunków zadania wynika, że punkt $ A $ jest najbliższy $ C $. W szczególności więc $ AC < BC $. Zatem w trójkącie $ ABC $ bok $ \overline{BC} $ jest najdłuższy, a więc kąt $ \measuredangle BAC $ jest największy. Wynika stąd, że $ \measuredangle BAC >  \frac{\pi}{3} $.

Udowodniliśmy w ten sposób, że jeżeli punkt $ A \in Z $ jest połączony z pewnymi punktami $ B $ i $ C $ zbioru $ Z $, to $ \measuredangle BAC >  \frac{\pi}{3} $.

Jeżeli więc punkt $ A \in Z $ jest połączony (rys. 13) z punktami $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ zbioru $ Z $, to

\[<br />
\measuredangle B_1AB_2 > \frac{\pi}{3},\<br />
\measuredangle B_2AB_3 > \frac{\pi}{3},\<br />
\ldots,<br />
\measuredangle B_nAB_1 > \frac{\pi}{3}.<br />
\]

Dodając te nierówności stronami otrzymujemy, że $ 2\pi > n  \frac{\pi}{3} $ czyli $ n < 6 $. Zatem liczba $ n $ punktów zbioru $ Z $, z którymi jest połączony punkt $ A $ jest nie większa od $ 5 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź