XXII OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg nieskończony $ \{a_n\} $. Dowieść, że jeżeli

\[<br />
a_n + a_{n+2} > 2a_{n+1} \quad \tex{ dla } \quad n = 1, 2, \ldots,<br />
\]

to

\[<br />
\frac{a_1+a_3+\ldots a_{2n+1}}{n+1} \geq \frac{a_2+a_4+\ldots a_{2n}}{n}<br />
\]

dla $ n = 1, 2, \ldots $.

Rozwiązanie

Nierówność $ a_n + a_{n+2} \geq 2a_{n+1} $ daną w założeniu przekształcamy do postaci równoważnej

\[<br />
(1) \qquad  a_{n+2} - a_{n+1} \geq a_{n + 1} - a_n/<br />
\]

Oznaczając $ b_{n+1} = a_{n+1} - a_n $ dla $ n = 1, 2, \ldots $ nierówność (1) można zapisać w postaci $ b_{n+2} > b_{n+1} $. Zatem ciąg $ \{b_n\} $ jest niemalejący.

Nierówność daną w tezie przekształcamy do postaci równoważnej

\[<br />
(2) \qquad  n(a_1 + a_3+ \ldots + a_{2n+1}) \geq (n + 1)(a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n}).<br />
\]

Nierówność (2) udowodnimy przez indukcję ze względu na $ n $. Dla $ n = 1 $ przybiera ona postać $ a_1 + a_3 \geq 2a_2 $. Jest to szczególny przypadek nierówności danej w założeniu.

Załóżmy z kolei, że nierówność (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $ n $, udowodnimy, że zachodzi ona dla liczby $ n + 1 $, tzn. że

\[<br />
(3) \qquad  (n +1)(a_1 + a_3+ \ldots + a_{2n+1} + a_{2n+3}) \geq<br />
 (n + 2)  (a_2  + a_4 + \ldots + a_{2n} + a_{2n+2}).<br />
\]

Porównując (2) i (3) stwierdzamy, iż wystarczy dowieść, że

\[<br />
(4) \qquad  (a_1 + a_3+ \ldots + a_{2n+1}) + (n + 1)a_{2n+3} \geq<br />
(a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n}) + (n + 2)a_{2n+2}.<br />
\]

Wtedy dodając stronami (2) i (4) otrzymamy (3).

Przekształcamy nierówność (4) w sposób równoważny

\[<br />
\begin{split}<br />
(n + 1)(a_{2n+3} - a_{2n+2}) \geq (a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + \ldots + \\<br />
+(a_{2n} - a_{2n} - 1) + (a_{2n+2} - a_{2n+1}),<br />
\end{split}<br />
\]
\[<br />
(5) \qquad   (n + 1) b_{2n+3} \geq b_2 + b_4+ \ldots +b_{2n} + b_{2n+2}.<br />
\]

Ponieważ, jak stwierdziliśmy na początku, ciąg $ \{b_n\} $ jest niemalejący, więc w szczególności

\[ b_{2n + 3} \geq b_2, \]
\[ b_{2n + 3} \geq b_4, \]
\[ \ldots \]
\[ b_{2n + 3} \geq b_{2n}, \]
\[ b_{2n + 3} \geq b_{2n+2}. \]

Dodając te nierówności stronami otrzymujemy (5). Zatem prawdziwe są nierówności (4) i (3). Wobec tego na mocy zasady indukcji nierówność (2) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź