XXII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ a_n $ jest ciągiem różnych liczb naturalnych, których rozwinięcia dziesiętne nie zawierają, cyfry O, to

\[<br />
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} < 29.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ b_n $ liczbę powstającą z liczby $ a_n $ przez zastąpienie wszystkich jej cyfr prócz pierwszej zerami. Mamy oczywiście $ b_n \leq a_n $ i wobec tego $  \frac{1}{a_n} \leq \frac{1}{b_n} $. W ciągu $ \{a_n\} $ jest $ 9 $ liczb jednocyfrowych, $ 9^2 $ liczb dwucyfrowych i ogólnie $ 9^k $ liczb $ k $-cyfrowych, ponieważ każda cyfra takiej liczby może przybierać jedną z dziewięciu wartości $ 1, 2, \ldots, 9 $.

Wśród $ 9^k $ liczb $ k $-cyfrowych ciągu $ \{a_n\} $ jest $ 9^{k-1} $ takich, których pierwszą cyfrą jest $ 1 $, $ 9^{k-1} $ takich, których pierwszą cyfrą jest $ 2 $ itd. Wobec tego w ciągu $ \{b_n\} $ liczba $ k $-cyfrowa $ c 00 \ldots 0 $, gdzie $ c $ jest ustaloną cyfrą różną od zera, powtarza się $ 9^{k-1} $ razy.

Stąd

\[<br />
\sum_{\substack{n \\ b_n \textrm{ ma } k \textrm{cyfr}}} \frac{1}{b_n} = 9^{k-1} \sum_{c=1}^9 \frac{1}{c00 \ldots 0} =<br />
9^{k-1} \sum_{c=1}^9 \frac{1}{c \cdot 10^{k-1}} = \left( \frac{9}{10} \right)^{k-1}<br />
\sum_{c=1}^9 \frac{1}{c}.<br />
\]

Obliczamy bezpośrednio, że

\[<br />
s_9 = \sum_{c=1}^9 \frac{1}{c} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{9} = 2,8289\ldots < 2,9.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
\sum_{\substack{n \\ b_n \textrm{ ma } \leq r \textrm{cyfr}}} \frac{1}{b_n}&=<br />
\sum_{k=1}^r \sum_{\substack{n \\ b_n \textrm{ ma } k \textrm{cyfr}}} \frac{1}{b_n} =<br />
\sum_{k=1}^r s_9 \left( \frac{9}{10} \right)^{k-1} =\\<br />
&=s_9 \sum_{k=1}^r \left( \frac{9}{10} \right)^{k-1} =<br />
s_9 \frac{1 - 0,9r}{1 - 0,9} < s_9 \frac{1}{1-0,9} = 10s_9.<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ nierówność $ \displaystyle \sum_{\substack{n \\ b_n \textrm{ ma } \leq r \textrm{cyfr}}}  \frac{1}{b_n}  < 10 s_9 $ ma miejsce dla każdej liczby
naturalnej $ r $, więc $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{b_n} \leq 10 s_9 < 29 $. Tym bardziej $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n} < 29 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź