XXII OM - III - Zadanie 2

Na stole bilardowym w kształcie trójkąta, którego miary kątów są współmierne, pchnięto kulę z pewnego punktu wewnętrznego. Kula odbija się od ścian zgodnie z prawem "kąt padania równy kątowi odbicia". Udowodnić, że liczba kierunków, w jakich może się poruszać kula, jest skończona. (Zakładamy, że kula nie trafia w wierzchołek trójkąta).

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw następujący
Lemat. Po dwukrotnym odbiciu kuli kolejno od boków $ \overline{CA} $ i $ \overline{AB} $ trójkąta $ ABC $ (rys. 14) kierunek ruchu kuli zmienia się o kąt $ 2 \measuredangle BAC $.

Dowód. Rozpatrzmy obraz $ AB'C $ trójkąta $ ABC $ w symetrii względem prostej $ AC $ oraz obraz $ AB'C' $ trójkąta $ AB'C $ w symetrii względem prostej $ AB' $. Oznaczmy przez $ k $, $ l $, $ m $ kolejne wektory obrazujące ruch kuli, przez $ l' $, $ m' $ - obrazy wektorów $ l $, $ m $ w pierwszej symetrii, a przez $ m'' $ - obraz wektora $ m' $ w drugiej symetrii (rys. 14).

Z prawa ,,kąt padania równy jest kątowi odbicia'' wynika, że wektory $ k $, $ l' $, $ m'' $ mają ten sam kierunek. Ponieważ złożenie rozważanych symetrii jest obrotem wokół punktu $ A $ o kąt $ 2\measuredangle BAC $, więc trójkąt $ AB'C' $ jest obrazem trójkąta $ ABC $ przy tym obrocie, a wektor $ m'' $ - obrazem wektora $ m $. Wynika stąd, że kierunki wektorów $ k $ i $ m $ różnią się o kąt $ 2 \measuredangle BAC $.

Przystąpimy teraz do rozwiązania zadania. Ponieważ miary kątów trójkąta $ ABC $ są współmierne, więc istnieje taka liczba $ \lambda $ i liczby naturalne $ r $, $ s $, $ t $, że $ \measuredangle BAC = r\lambda $, $ \measuredangle ABC = s\lambda $, $ \measuredangle ACB = t\lambda $. Stąd $ \lambda (r + s + t) = \pi $. Oznaczając $ n = r + s + t $ otrzymujemy, że $ \lambda =  \frac{\pi}{n} $.

Zatem na mocy lematu po parzystej liczbie odbić kierunek ruchu kuli zmienia się o kąt, którego miara jest parzystą wielokrotnością liczby $ \lambda =  \frac{\pi}{n} $, a więc jedną z liczb $ 2\lambda, 4\lambda, 6\lambda, \ldots, 2n\lambda = 2\pi $. Zatem po parzystej liczbie odbić ruch kuli może się odbywać po jednym z $ n $ kierunków. Podobnie po nieparzystej liczbie odbić ruch kuli może się odbywać po jednym z $ n $ kierunków. Łączna liczba kierunków, po których porusza się kula, jest więc nie większa od $ 2n $.

Uwaga. Analogicznie można udowodnić, że jeżeli w zadaniu trójkąt zastąpić dowolnym wielokątem, którego miary kątów są współmierne, to również liczba kierunków, po jakich może się poruszać kula w takim wielokącie, jest skończona.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź