LVIII OM - III - Zadanie 6

Ciąg $ a_0 $, $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $ jest określony przez warunki: $ a_0=-1 $ oraz

\[<br />
a_n+{a_{n-1}\over 2}+{a_{n-2}\over 3}+\ldots+{a_1\over n}+{a_0\over n+1}=0<br />
\qquad\hbox{dla }n\ge 1.<br />
\]

Wykazać, że $ a_n>0 $ dla $ n\ge 1 $.

Rozwiązanie

Przeprowadzimy dowód indukcyjny.

Liczba $ a_1={1\over 2} $ jest dodatnia. Przypuśćmy z kolei,
że dla pewnego wskaźnika $ n $ liczby $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_n $
są dodatnie. Udowodnimy, że liczba $ a_{n+1} $ również jest
dodatnia. W tym celu zauważmy, że prawdziwa jest zależność

\[<br />
{1\over k+1}\le{n\over n+1}\cdot{1\over k}\qquad \hbox{dla }k=1,2,\ldots,n,<br />
\]

gdyż jest ona równoważna nierówności $ (n+1)k=nk+k\le (k+1)n=nk+n $.
Zatem korzystając z założenia indukcyjnego oraz z danej
w treści zadania równości otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}{1\over n+2} & =<br />
a_{n+1}+{a_n\over 2}+{a_{n-1}\over 3}+\ldots+{a_2\over n}+{a_1\over n+1}\le  \\<br />
& \le a_{n+1}+{n\over n+1}\Bigl(a_n+{a_{n-1}\over 2}+\ldots+{a_2\over n-1}+<br />
{a_1\over n}\Bigr)=  \\<br />
& =a_{n+1}+{n\over n+1}\cdot{-a_0\over n+1}=a_{n+1}+{n\over (n+1)^2}.<br />
\end{split}<br />
\]

Wobec tego spełniona jest nierówność

\[<br />
a_{n+1}\ge{1\over n+2}-{n\over (n+1)^2}={1\over (n+1)^2(n+2)}>0,<br />
\]

która kończy dowód indukcyjny i rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź