XXII OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $ x, y, z, n $ spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad x^n+y^n = z^n,<br />
\]

to $ \min (x, y) > n $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby naturalne $ x $, $ y $, $ z $, $ n $ spełniają równanie
(1). Bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy przyjąć, że $ x \leq y $. Ponieważ $ z^n = x^n + y^n > y^n $, więc $ z>y $ i stąd $ z \geq y + 1 $. Wobec tego na mocy wzoru Newtona mamy

\[<br />
(2) \qquad  z^n \geq (y + 1)^n = y^n + \binom{n}{1} y^{n-1} + \ldots \geq  y^n + ny^{n-1}.<br />
\]

Z (1) i (2) otrzymujemy, że $ x^n \geq ny^{n-1} $. Stąd wobec $ x \leq y $ mamy $ x^n \geq nx^{n-1} $, czyli $ x \geq n $. Zatem $ \min(x, y) = x \geq n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź