XXII OM - III - Zadanie 6

Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości 1. Udowodnić, że:
1) Na powierzchni $ S $ czworościanu istnieją takie cztery punkty, że odległość każdego punktu powierzchni $ S $ od jednego z tych czterech punktów nie przekracza $ \frac{1}{2} $.
2) Na powierzchni $ S $ nie istnieją trzy punkty o podobnej własności.
Przez odległość punktów należących do $ S $ rozumiemy kres dolny długości łamanych zawartych w $ S $ łączących te punkty.

Rozwiązanie

1) Zauważmy najpierw, że w trójkącie równobocznym o boku długości $ 1 $ środki dwóch boków mają tę własność, że każdy punkt należący do trójkąta jest odległy od jednego z nich nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Istotnie, zakreślając koła o środkach w tych punktach (rys. 15) i promieniach długości $ \frac{1}{2} $ stwierdzamy, że trójkąt jest zawarty w sumie tych kół.

W czworościanie foremnym $ ABCS $ obierzmy punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ T $ będące środkami krawędzi $ \overline{AS} $, $ \overline{BS} $, $ \overline{AC} $, $ \overline{BC} $ (rys. 16). W ten sposób do każdej ze ścian czworościanu należą dwa z punktów $ P $, $ Q $, $ R $, $ T $ i są one środkami dwóch krawędzi tej ściany. Z uwagi zrobionej na początku wynika więc, że każdy punkt dowolnej ściany czworościanu jest odległy od jednego z punktów $ P $, $ Q $, $ R $, $ T $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $.

2) Przypuśćmy, że istnieją trzy punkty $ P $, $ Q $, $ R $ należące do powierzchni czworościanu takie, że dowolny punkt powierzchni czworościanu jest odległy od jednego z nich nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Ponieważ czworościan ma cztery wierzchołki, więc co najmniej dwa wierzchołki są odległe od tego samego punktu z $ P $, $ Q $, $ R $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Niech na przykład punkty $ A $ i $ S $ będą odległe od $ P $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Ponieważ odległość punktów $ A $ i $ S $ równa jest $ 1 $, więc wynika stąd, że punkt $ P $ jest środkiem krawędzi $ \overline{AS} $.

Zauważmy, że każdy punkt należący do wysokości $ \overline{SD} $ ściany $ SBC $ (za wyjątkiem punktu $ S $) jest odległy od punktu $ P $ więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Istotnie, rozważmy rozwinięcie powierzchni czworościanu foremnego $ ABCS $ (rys. 17). Zakreskowany obszar składa się z punktów odległych od $ P $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Wysokość $ \overline{SD} $ ma tylko punkt $ S $ wspólny z tym obszarem.

Gdyby więc punkt $ S $ był odległy więcej niż o $ \frac{1}{2} $ od każdego z punktów $ Q $ i $ R $, to i każdy punkt pewnego otoczenia punktu $ S $ miałby podobną własność. Wobec tego punkty odcinka $ \overline{SD} $ dostatecznie bliskie punktu $ S $ byłyby odległe od każdego z punktów $ P $, $ Q $, $ R $ więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Jest to jednak sprzeczne z naszym pierwotnym przypuszczeniem. Zatem punkt $ S $ jest odległy od jednego z punktów $ Q $ i $ R $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $ i podobnie stwierdzamy, że punkt $ A $ jest odległy od jednego z punktów $ Q $ i $ R $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Ponieważ wierzchołki $ B $ i $ C $ są odległe od punktu $ P $ więcej niż o $ \frac{1}{2} $, więc również każdy z punktów $ B $ i $ C $ jest odległy od jednego z punktów $ Q $ i $ R $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Wynika stąd, że co najmniej dwa z punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ S $ są odległe od jednego z punktów $ Q $ i $ R $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $.

Niech na przykład punkty $ B $ i $ S $ będą odległe od $ Q $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $ (pozostałe przypadki rozpatruje się podobnie). Wtedy punkt $ Q $ jest środkiem krawędzi $ \overline{BS} $, a punkt $ R $ - środkiem krawędzi $ \overline{AC} $.

Wówczas jednak rozumując podobnie, jak poprzednio, stwierdzamy, że punkty należące do wysokości $ \overline{BE} $ ściany $ ABC $ położone dostatecznie blisko punktu $ B $ są odległe od każdego z punktów $ P $, $ Q $, $ R $ więcej niż o $ \frac{1}{2} $. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie istnieją trzy punkty $ P $, $ Q $, $ R $ należące do powierzchni czworościanu $ ABCS $ takie, że każdy punkt powierzchni czworościanu jest odległy od jednego z nich nie więcej niż o $ \frac{1}{2} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź