XXI OM - I -Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

\[<br />
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2} = 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Jeśli $ |x| \geq 2 $ i $ |y| \geq 2 $, to

\[<br />
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2} \leq<br />
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{|xy|} + \frac{1}{y^2} \leq<br />
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} < 1.<br />
\]

Zatem, jeśli para liczb całkowitych $ x $, $ y $ jest rozwiązaniem równania (1), to $ |x| = 1 $ lub $ |y| = 1 $. Jeżeli $ |x| = 1 $, to równanie to przyjmuje postać $ 1 + \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^2}= 1 $, czyli $ \frac{x+y}{xy^2} = 0 $. Wobec tego $ x + y = 0 $. Wynika stąd, że jeśli $ x = 1 $, to $ y = - 1 $ i jeśli $ x = - 1 $, to $ y = 1 $.

Rozpatrując podobnie przypadek $ |y| = 1 $ otrzymujemy, że jeśli $ y = \pm 1 $, to $ x = \mp 1 $. Równanie (1) ma więc dwa rozwiązania $ (-1, 1) $ i $ (1, -1) $ w liczbach całkowitych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź