XXI OM - I -Zadanie 2

Dany jest ciąg $ \{c_n\} $ określony wzorami $ c_1=\frac{a}{2} $, $ c_{n+1}=\frac{a+c_n^2}{2} $ gdzie $ a $ jest daną liczbą spełniającą nierówność $ 0 < a < 1 $. Dowieść, że dla każdego $ n $ zachodzi nierówność $ c_n < 1 - \sqrt{1 - a} $Wykazać zbieżność ciągu $ \{c_n\} $ i obliczyć jego granicę.

Rozwiązanie

Z określenia ciągu $ \{c_n\} $ wynika, że wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stosując metodę indukcji wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad  c_n < 1 - \sqrt{1-a}.<br />
\]

Stwierdzamy najpierw, że $ c_1 < 1 - \sqrt{1 - a} $, tzn., że

\[<br />
(2) \qquad  \frac{a}{2} < 1 - \sqrt{1-a}.<br />
\]

Mianowicie mamy

\[<br />
\sqrt{1-a} < \sqrt{1-a + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\left(1-\frac{a}{2}\right)^2} =<br />
\left| 1 - \frac{a}{2} \right| = 1 - \frac{a}{2}.<br />
\]

Wynika stąd (2).

Jeśli zaś dla pewnej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
\begin{split}<br />
c_n & < 1 - \sqrt{1-a}, \textrm{ to } c_{n+1} = \frac{a + c^2_n}{2} < \frac{a}{2} + \frac{1}{2} (1 - \sqrt{1-a})^2 =\\<br />
&= \frac{a}{2} + \frac{1}{2} (1 - 2 \sqrt{1-a} + 1 -a) =<br />
\frac{a}{2} + 1 - \frac{a}{2} - \sqrt{1-a} = 1 - \sqrt{1-a}.<br />
\end{split}<br />
\]

Na mocy indukcji nierówność (1) jest więc prawdziwa dla każdej liczby naturalnej $ n $.

Udowodnimy, że ciąg $ \{c_n\} $ jest rosnący, tzn., że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
(3) \qquad  c_{n+1} > c_n.<br />
\]

Obliczamy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
c_{n+1}  - c_n &= \frac{a+c_n^2}{2} - c_n = \frac{a+c_n^2 - 2c_n}{2}=<br />
\frac{(c_n-1)^2 - (1-a)}{2} =\\<br />
&=\frac{(c_n-1)^2 - (\sqrt{1-a})^2}{2} = \frac{(c_n-1-\sqrt{1-a})(c_n-1+\sqrt{1-a})}{1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Dowiedliśmy, że $ c_n < 1 - \sqrt{1 - a} $, a więc tym bardziej $ c_n < 1 + \sqrt{1 - a} $. Wobec tego $ c_n - 1 + \sqrt{1 -a} < 0 $ i $ c_n - 1 - \sqrt{1 - a} < 0 $. Zatem $ c_{n+1} - c_n > 0 $. Wykazaliśmy więc, że ciąg $ \{c_n\} $ jest rosnący i ograniczony z góry.

Jak wiadomo, każdy ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieżny. Oznaczmy $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = g $.

Z równości $ c_{n+1} = \frac{a + c_n^2}{2} $ wynika, że $ g = \frac{a + g^2}{2} $, czyli $ g^2 - 2g + a = 0 $. Otrzymujemy stąd, że

\[<br />
g = \frac{2\pm \sqrt{4-4a}}{2} = 1 \pm \sqrt{1-a}.<br />
\]

Ponieważ jednak wszystkie wyrazy ciągu $ \{c_n\} $ są mniejsze od liczby $ 1 - \sqrt{1 - a} $, a $ 1- \sqrt{1 - a} < 1 + \sqrt{1 - a} $, więc liczba $ 1 + \sqrt{1 - a} $ nie jest granicą ciągu $ \{c_n\} $. Wobec tego $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = 1 - \sqrt{1 - a} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź