XXI OM - I -Zadanie 3

Na bokach $ \overline{BC} $, $ \overline{CA} $, $ \overline{AB} $ trójkąta $ ABC $ obrano odpowiednio punkty $ K, L, M $ w taki sposób, że odcinki $ \overline{AK} $, $ \overline{BL} $, $ \overline{CM} $ przecinają się w punkcie o lezącym wewnątrz trójkąta i $ \frac{AS}{SK}=\frac{BS}{SL}=\frac{CS}{SM} $. Dowieść, że $ S $ jest środkiem ciężkości trójkąta.

Rozwiązanie

Z danej równości stosunków wynika, że trójkąty $ KLM $ i $ ABC $ (rys. 3) są jednokładne względem punktu $ S $, wobec czego proste $ KL $, $ LM $, $ MK $ są odpowiednio równoległe do prostych $ AB $, $ BC $, $ CA $. Stosując twierdzenie Talesa kolejno do kątów $ \measuredangle A $, $ \measuredangle B $, $ \measuredangle C $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{AM}{BM} = \frac{AC}{CL}<br />
\]
\[<br />
(1) \qquad  \frac{BM}{AM} = \frac{BK}{CK}<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad  \frac{CK}{BK} = \frac{CL}{AL}.<br />
\]

Mnożąc te równości stronami otrzymujemy, że $ \frac{CK}{BK} = \frac{BK}{CK} $. Zatem $ CK^2 = BK^2 $, czyli $ CK = BK $. Podstawiając $ CK = BK $ do (1) i (2) otrzymujemy, że $ AM = BM $ i $ AL = CL $. Oznacza to, że punkty $ K $, $ L $, $ M $ są odpowiednio środkami odcinków $ \overline{BC} $, $ \overline{AC} $ i $ \overline{AB} $. Wobec tego $ S $ jest środkiem ciężkości trójkąta $ ABC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź